Lineárna funkcia — predpis, smernica k a číslo q

Lineárna funkcia — predpis, smernica k a číslo q

Taxík si účtuje 3 € za nástup a 1 € za každý kilometer. Za 5 km zaplatíš 3 + 5 · 1 = 8 €, za 10 km 13 €. Cena y závisí od počtu kilometrov x podľa predpisu y = x + 3. Každý kilometer navyše pridá rovnakú sumu — a presne to je lineárna funkcia.

Lineárna funkcia má predpis

y = kx + q, kde k a q sú reálne čísla.

Jej grafom je priamka. Napríklad y = 2x − 3 má k = 2 a q = −3.

Obsah

Čo znamená číslo q

Dosaďme x = 0: y = k · 0 + q = q. Graf teda prechádza bodom [0; q] — v ňom pretína os y. Preto sa q niekedy volá aj úsek na osi y.

  • y = 2x + 1 pretína os y v bode [0; 1].
  • y = −x + 4 pretína os y v bode [0; 4].
  • y = 3x pretína os y v bode [0; 0] — priamka ide cez začiatok sústavy.

V príklade s taxíkom je q = 3: to sú 3 € za nástup, ktoré zaplatíš, aj keď ešte nikam nešiel (x = 0).

Čo znamená číslo k

Číslo k sa volá smernica. Hovorí, o koľko sa zmení y, keď sa x zväčší o 1.

![Priamka y = 2x + 1: z bodu [0; 1] o 1 doprava a o 2 hore do bodu [1; 3]](/images/high-school/elementary-functions/linear-slope.png)

Pri y = 2x + 1 začneme v bode [0; 1]. Posunieme sa o 1 doprava a o 2 hore — sme v bode [1; 3]. Tento „schodík“ platí na celej priamke: x = 2 dáva y = 5, x = 3 dáva y = 7.

Ak je k zlomok, schodík býva väčší. Pri y = ⅔x − 2 sa oplatí ísť o 3 doprava: y sa zmení o ⅔ · 3 = 2. Z bodu [0; −2] sa tak dostaneme do bodu [3; 0].

💡 Smernicu prečítaš z ľubovoľných dvoch bodov priamky ako podiel „o koľko hore“ : „o koľko doprava“.

Rastúca, klesajúca, konštantná

![Tri priamky cez bod [0; 1]: rastúca y = x + 1, klesajúca y = −2x + 1 a vodorovná y = 1](/images/high-school/elementary-functions/linear-k-sign.png)

Všetky tri priamky na obrázku majú q = 1, líšia sa smernicou:

  • k > 0: funkcia je rastúca (y = x + 1). Zľava doprava graf stúpa.
  • k < 0: funkcia je klesajúca (y = −2x + 1). Zľava doprava graf klesá.
  • k = 0: funkcia je konštantná (y = 1). Graf je vodorovná priamka.

Čím je |k| väčšie, tým je priamka strmšia. y = −2x + 1 je strmšia ako y = x + 1.

Predpis z dvoch bodov

Priamku určujú dva body. Z nich vypočítame k aj q.

Riešený príklad 1

Priamka prechádza bodmi A = [1; 1] a B = [3; 5]. Nájdi jej predpis.

  1. Z A do B ide x o 3 − 1 = 2 doprava a y o 5 − 1 = 4 hore.
  2. Smernica: k = 4 : 2 = 2.
  3. Dosadíme bod A do y = 2x + q: 1 = 2 · 1 + q, teda q = −1.
  4. Predpis: y = 2x − 1.

Skúška s bodom B: 2 · 3 − 1 = 5 ✓.

Všeobecne pre body [x₁; y₁] a [x₂; y₂]:

Riešený príklad 2

A = [−2; 7], B = [2; −1].

  1. k = (−1 − 7) : (2 − (−2)) = −8 : 4 = −2.
  2. q = 7 − (−2) · (−2) = 7 − 4 = 3.
  3. Predpis: y = −2x + 3. Funkcia je klesajúca, lebo k < 0.

Skúška s bodom B: −2 · 2 + 3 = −1 ✓.

Priesečníky s osami

![Priamka y = ⅔x − 2 s priesečníkmi [3; 0] a [0; −2]](/images/high-school/elementary-functions/linear-intercepts.png)

  • S osou y: dosadíme x = 0. Vyjde y = q, bod je [0; q].
  • S osou x: hľadáme x, pre ktoré y = 0. Riešime rovnicu kx + q = 0.

Riešený príklad 3

y = ⅔x − 2.

  1. Os y: x = 0 dá y = −2. Priesečník [0; −2].
  2. Os x: ⅔x − 2 = 0, teda ⅔x = 2 a x = 2 · 3/2 = 3. Priesečník [3; 0].
  3. k = ⅔ > 0, funkcia je rastúca.

⚠️ Konštantná funkcia y = q (k = 0) os x nepretína, ak q ≠ 0. Rovnica 0 · x + q = 0 nemá riešenie.

Najčastejšie chyby

  • Zámena k a q. V y = 3x − 5 je smernica 3, priesečník s osou y je [0; −5], nie [0; 3].
  • Zlé znamienko pri odčítaní. Pri bodoch [−2; 7] a [2; −1] je rozdiel x-ov 2 − (−2) = 4, nie 0.
  • Obrátený podiel. Smernica je „zmena y : zmena x“, nie naopak.
  • Rastúca podľa q. O raste rozhoduje len k. y = −x + 100 je klesajúca, aj keď q je veľké.

V skratke

  • y = kx + q, graf je priamka.
  • q: priesečník s osou y je [0; q].
  • k: o koľko sa zmení y, keď x vzrastie o 1. k > 0 rastúca, k < 0 klesajúca, k = 0 konštantná.
  • Z dvoch bodov: k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), potom q = y₁ − k · x₁.
  • Priesečník s osou x: riešenie rovnice kx + q = 0.

Skús si sám

  1. Priamka prechádza bodmi [0; 4] a [2; 0]. Nájdi jej predpis.
  2. Nájdi priesečníky grafu y = −3x + 6 s osami. Je funkcia rastúca, alebo klesajúca?
  3. Je funkcia y = −½x + 1 rastúca, alebo klesajúca?
Riešenia:
  1. k = (0 − 4) : (2 − 0) = −2, q = 4 (bod [0; 4]). Predpis y = −2x + 4.
  2. Os y: [0; 6]. Os x: −3x + 6 = 0, x = 2, bod [2; 0]. Klesajúca, lebo k = −3 < 0.
  3. Klesajúca, lebo k = −½ < 0.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Kvadratická funkcia a jej graf