Funkcie a rovnice s absolútnou hodnotou

Bývaš pri zastávke a autobus je od teba 300 metrov. Je jedno, či je 300 metrov vľavo alebo vpravo — vzdialenosť je rovnaká. Presne to meria absolútna hodnota: ako ďaleko je číslo od nuly, bez ohľadu na smer.

|x| čítame „absolútna hodnota x“. |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.

Presnejšie: |x| = x, ak x ≥ 0, a |x| = −x, ak x < 0. Záporné číslo teda absolútna hodnota „otočí“ na kladné.

Obsah

Graf absolútnej hodnoty

Urobme tabuľku pre y = |x|:

x−3−2−10123
y3210123

Body ležia na dvoch polpriamkach, ktoré sa stretnú v bode [0; 0]. Graf vyzerá ako písmeno V. Bod [0; 0] je jeho vrchol.

Vlastnosti: funkcia je párna (graf je súmerný podľa osi y), na (−∞; 0⟩ klesá, na ⟨0; ∞) rastie, má minimum 0 a nie je prostá.

Posunutý graf

![Prerušovaný graf y = |x| a oranžový graf y = |x − 2| + 1 s vrcholom [2; 1]](/images/high-school/elementary-functions/abs-graphs.png)

Graf funkcie

y = |x − a| + b

je to isté V, len posunuté tak, že vrchol je v bode [a; b].

  • y = |x − 2| + 1: vrchol [2; 1] — posun o 2 doprava a o 1 nahor.
  • y = |x + 3|: vrchol [−3; 0] — posun o 3 doľava.
  • y = |x| − 4: vrchol [0; −4] — posun o 4 nadol.

⚠️ Rovnaká pasca ako pri parabole: mínus v absolútnej hodnote posúva doprava, plus doľava.

Riešený príklad 1

Graf v tvare V má vrchol [−1; −2]. Aký je jeho predpis (ak je rovnako „strmý“ ako y = |x|)?

Vrchol [a; b] = [−1; −2], takže y = |x − (−1)| + (−2) = |x + 1| − 2.

Rovnice s absolútnou hodnotou

Rovnica |x − 3| = 5 sa pýta: „ktoré čísla sú od trojky vzdialené 5?“ Na číselnej osi sú dve: 3 + 5 = 8 a 3 − 5 = −2.

Algebraicky rovnicu |výraz| = c (pre c > 0) rozdelíme na dve rovnice:

výraz = c alebo výraz = −c.

Riešený príklad 2

x + 4
  1. x + 4 = 6 → x = 2.
  2. x + 4 = −6 → x = −10.
  3. Riešenie: x ∈ {−10; 2}.

Skúška: |2 + 4| = 6 ✓, |−10 + 4| = |−6| = 6 ✓.

Špeciálne prípady

  • c = 0: |x − 5| = 0 má jediné riešenie x = 5. Nulu má len nulové číslo.
  • c < 0: |x + 1| = −3 nemá riešenie. Absolútna hodnota nie je nikdy záporná.

Keď je pred x číslo

Riešený príklad 3

2x − 6
  1. 2x − 6 = 4 → 2x = 10 → x = 5.
  2. 2x − 6 = −4 → 2x = 2 → x = 1.
  3. Riešenie: x ∈ {1; 5}.

💡 Všimni si: riešenia sú súmerné okolo čísla 3, kde je výraz 2x − 6 nulový.

Riešený príklad 4

3x + 6

Najčastejšie chyby

  • Zabudnuté druhé riešenie. |x| = 4 má riešenia 4 aj −4.
  • „Absolútna hodnota len zmaže mínus vo vnútri.“ |x − 3| nie je x + 3! Absolútna hodnota sa týka celého výrazu.
  • Riešenie rovnice |výraz| = záporné číslo. Také riešenie neexistuje, netreba nič počítať.
  • Zlý smer posunu. |x − 2| má vrchol v x = 2, nie −2.

V skratke

  • |x| je vzdialenosť x od nuly, nikdy nie je záporná.
  • Graf y = |x − a| + b je V s vrcholom [a; b].
  • |výraz| = c, c > 0: výraz = c alebo výraz = −c (dve riešenia).
  • c = 0: jedno riešenie. c < 0: žiadne riešenie.

Skús si sám

  1. Aký vrchol má graf y = |x + 2| − 3?
  2. Vyrieš |x − 1| = 7.
  3. Vyrieš |2x + 1| = 5.
  4. Vyrieš |4x − 8| = −2.
Riešenia:
  1. [−2; −3].
  2. x − 1 = 7 alebo x − 1 = −7, teda x ∈ {−6; 8}.
  3. 2x + 1 = 5 → x = 2; 2x + 1 = −5 → x = −3. Riešenie {−3; 2}.
  4. Nemá riešenie.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Lineárna lomená a mocninová funkcia