Vlastnosti funkcií: monotónnosť, ohraničenosť, extrémy a prostá funkcia
Predstav si, že cez leto každý deň o 14:00 zapisuješ teplotu vonku. Z grafu potom hneď vidíš, kedy sa otepľovalo, kedy ochladzovalo, aká bola najvyššia teplota a či niekedy klesla pod nulu. Presne tieto otázky si kladieme pri každej funkcii. Volajú sa vlastnosti funkcie a dajú sa vyčítať z grafu aj bez počítania.
V celom článku čítame graf zľava doprava, rovnako ako text v knihe.
Funkcia je rastúca na intervale, ak jej graf na ňom zľava doprava stále stúpa. Väčšie x dáva väčšie y.
Funkcia je klesajúca na intervale, ak jej graf zľava doprava stále klesá. Väčšie x dáva menšie y.
Na obrázku funkcia:
rastie na intervale ⟨−5; −2⟩ (oranžová časť vľavo),
klesá na intervale ⟨−2; 2⟩ (čierna časť),
znovu rastie na intervale ⟨2; 5⟩.
Zápis ⟨−2; 2⟩ čítame „uzavretý interval od mínus dva po dva“. Patria doň všetky čísla od −2 po 2 vrátane krajných.
Matematicky: funkcia f je rastúca na intervale I, ak pre každé dve čísla x₁ < x₂ z I platí f(x₁) < f(x₂). Slovami: „keď sa posuniem doprava, hodnota stúpne“.
Ak je graf na intervale vodorovná úsečka, funkcia je tam konštantná — hodnota sa nemení. A ak na intervale graf najprv stúpa a potom klesá, funkcia tam nie je ani rastúca, ani klesajúca.
💡 Rastúcim a klesajúcim funkciám spolu hovoríme monotónne.
Ohraničená funkcia
Funkcia je zhora ohraničená, ak jej graf nikdy nevystúpi nad nejakú vodorovnú priamku. Je zdola ohraničená, ak graf nikdy neklesne pod nejakú vodorovnú priamku. Ak platí oboje, hovoríme jednoducho, že je ohraničená.
Graf na obrázku sa drží v pásme medzi priamkami y = −1 a y = 3. Funkcia je ohraničená zhora aj zdola.
Pri grafe so šípkami na koncoch pozor: šípka hovorí, že graf pokračuje rovnakým smerom donekonečna.
Šípka nahor znamená, že funkcia nie je zhora ohraničená.
Šípka nadol znamená, že funkcia nie je zdola ohraničená.
Vodorovné šípky ohraničenosť nepokazia.
Riešený príklad 1
Je funkcia y = x² ohraničená?
Druhá mocnina nie je nikdy záporná, preto x² ≥ 0. Graf nikdy neklesne pod os x — funkcia je zdola ohraničená.
Pre x = 10 je y = 100, pre x = 1000 je y = 1 000 000. Hodnoty rastú bez hranice — funkcia nie je zhora ohraničená.
Maximum a minimum
Maximum funkcie je jej najväčšia hodnota — y-ová súradnica najvyššieho bodu grafu. Minimum je najmenšia hodnota — y-ová súradnica najnižšieho bodu.
Na obrázku vyššie je najvyšší bod [0; 3]. Funkcia má maximum 3 v bode x = 0.
Minimum táto funkcia nemá. Graf sa síce stále približuje k priamke y = −1, ale nikdy ju nedosiahne. Každá hodnota je o kúsok väčšia ako −1, takže žiadna nie je najmenšia.
⚠️ Funkcia, ktorá nie je zhora ohraničená, nemôže mať maximum. Vždy sa nájde ešte väčšia hodnota.
Riešený príklad 2
Funkcia y = −x² + 4. Má maximum alebo minimum?
−x² je vždy menšie alebo rovné nule, preto y ≤ 0 + 4 = 4.
Hodnotu 4 funkcia dosiahne pre x = 0. Maximum je 4.
Pre veľké x sú hodnoty ľubovoľne malé (pre x = 10 je y = −96). Minimum funkcia nemá.
Prostá funkcia
Funkcia je prostá, ak každú hodnotu y nadobúda najviac raz. Dve rôzne čísla x nikdy nedajú tú istú hodnotu.
Príklad z bežného života: priradenie „žiak → číslo v triednej knihe“ je prosté, každé číslo má len jeden žiak. Priradenie „žiak → mesiac narodenia“ prosté nie je, v jednom mesiaci sa narodilo viac žiakov.
Funkcia y = x² − 2 prostá nie je: pre x = −2 aj pre x = 2 dostaneme y = 2.
Funkcia y = x³/4 prostá je. Graf stále stúpa, takže každú výšku dosiahne len raz.
💡 Test vodorovnou priamkou: Ak niektorá vodorovná priamka pretne graf aspoň dvakrát, funkcia nie je prostá.
💡 Každá funkcia, ktorá je na celom definičnom obore rastúca (alebo na celom klesajúca), je prostá. Prosté funkcie sú dôležité, lebo len ony majú inverznú funkciu.
Najčastejšie chyby
Čítanie grafu sprava doľava. „Rastúca“ vždy znamená stúpať zľava doprava.
Zámena maxima a miesta maxima. Maximum je hodnota y (napríklad 3), nie x, v ktorom ho funkcia dosiahne.
Ignorovanie šípok. Šípka nahor znamená, že maximum neexistuje, aj keď je na obrázku nejaký „najvyšší“ bod.
„Má minimum, lebo sa blíži k −1“. Približovať sa nestačí, funkcia musí hodnotu naozaj dosiahnuť.
Prostá = rastúca. Každá rastúca funkcia je prostá, ale napríklad y = 1/x je prostá a rastúca nie je.
V skratke
Rastúca: zľava doprava stúpa. Klesajúca: zľava doprava klesá.
Zhora ohraničená: graf nevystúpi nad nejakú priamku. Zdola ohraničená: neklesne pod nejakú priamku.
Maximum / minimum: najväčšia / najmenšia hodnota y, ktorú funkcia naozaj dosiahne.
Prostá: každé y najviac raz. Test vodorovnou priamkou.
Skús si sám
Pre funkciu y = |x| (graf v tvare V s vrcholom v [0; 0]) urči:
Na ktorom intervale je klesajúca a na ktorom rastúca?
