Pri zahraničnej dovolenke prepočítavaš ceny: z eur na koruny násobíš kurzom, z korún na eurá kurzom delíš. Druhý prepočet robí presne opačnú prácu ako prvý. Takúto „spiatočnú“ funkciu voláme inverzná funkcia.
Ak funkcia f urobí z čísla 3 číslo 7, inverzná funkcia f⁻¹ urobí zo 7 opäť 3.
f⁻¹ čítame „f na mínus prvú“ alebo „inverzná funkcia k f“. Pozor, nejde o mocninu: f⁻¹(x) nie je 1/f(x).
Inverzná funkcia musí vedieť jednoznačne „vrátiť“ výsledok späť. Pri y = x² to nejde: hodnotu 9 dostaneme z 3 aj z −3. Ak by sme sa spýtali „z čoho vzniklo 9?“, odpoveď nie je jednoznačná.
Funkcia je prostá, ak dve rôzne čísla x nikdy nedajú rovnakú hodnotu y. Inverznú funkciu má len prostá funkcia.
Prosté sú napríklad y = 2x + 1, y = x³, y = 1/x, y = √x.
Prosté nie sú y = x², y = |x|, y = 5 (konštanta).
💡 Z grafu: ak niektorá vodorovná priamka pretne graf aspoň dvakrát, funkcia prostá nie je. Viac v článku Vlastnosti funkcií.
💡 Funkciu, ktorá prostá nie je, môžeme „zúžiť“. y = x² pre x ≥ 0 už prostá je — jej inverzná funkcia je y = √x.
Ako vypočítať inverznú funkciu
Postup:
Napíš y = f(x).
Vymeň x a y.
Vyjadri y.
Riešený príklad 1
f(x) = 2x + 1.
y = 2x + 1.
Výmena: x = 2y + 1.
Vyjadrenie: 2y = x − 1, teda y = (x − 1)/2.
Výsledok: f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
Skúška: f(3) = 7 a f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. ✓
Riešený príklad 2
f(x) = x−34−1.
Výmena: x = y−34−1.
x + 1 = y−34, teda y − 3 = x+14.
y = x+14+3.
Výsledok: f⁻¹(x) = 4/(x + 1) + 3. Asymptoty sa vymenili: f má x = 3 a y = −1, f⁻¹ má x = −1 a y = 3.
Graf inverznej funkcie
Ak bod [a; b] leží na grafe f, tak f pošle a na b. Inverzná funkcia pošle b na a, preto bod [b; a] leží na grafe f⁻¹. Súradnice sa jednoducho vymenia.
![Oranžová priamka f(x) = 2x + 1 a prerušovaná priamka f⁻¹(x) = (x − 1)/2, súmerné podľa prerušovanej priamky y = x; bod [1; 3] na f a bod [3; 1] na f⁻¹](/images/high-school/elementary-functions/inverse.png)
Výmena súradníc je zrkadlenie podľa priamky y = x. Preto:
Grafy f a f⁻¹ sú súmerné podľa priamky y = x.
Na obrázku: bod [1; 3] na grafe f má zrkadlový obraz [3; 1] na grafe f⁻¹.
Definičný obor a obor hodnôt
Pri výmene x a y sa vymenia aj obory:
definičný obor f⁻¹ = obor hodnôt f,
obor hodnôt f⁻¹ = definičný obor f.
Pri f(x) = 4/(x − 3) − 1 je D(f) = ℝ ∖ {3} a H(f) = ℝ ∖ {−1}. Pre inverznú funkciu D(f⁻¹) = ℝ ∖ {−1} a H(f⁻¹) = ℝ ∖ {3}.
Najčastejšie chyby
f⁻¹(x) = 1/f(x). Nie! Mínus jednotka tu neznamená prevrátenú hodnotu. Pri f(x) = 2x + 1 je 1/f(x) = 1/(2x + 1), ale f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
„Otočené“ operácie v zlom poradí. f(x) = 2x + 1 najprv násobí 2 a potom pripočíta 1. Inverzná funkcia musí najprv odčítať 1 a až potom deliť 2: (x − 1)/2, nie x/2 − 1.
Inverzná funkcia k neprostej funkcii. y = x² na celom ℝ inverznú funkciu nemá.
Zrkadlenie podľa osi y. Grafy f a f⁻¹ sú súmerné podľa priamky y = x, nie podľa osi.
V skratke
Inverzná funkcia f⁻¹ vracia výsledok f späť: ak f(a) = b, tak f⁻¹(b) = a.
Existuje len pre prostú funkciu.
Výpočet: y = f(x), vymeň x a y, vyjadri y.
Graf f⁻¹ je zrkadlový obraz grafu f podľa priamky y = x.
D(f⁻¹) = H(f) a H(f⁻¹) = D(f).
Skús si sám
Nájdi inverznú funkciu k f(x) = 3x − 6.
Nájdi inverznú funkciu k f(x) = 2/(x + 1).
Bod [−2; 5] leží na grafe f. Ktorý bod leží na grafe f⁻¹?