Kvadratické nerovnice — riešenie pomocou paraboly

Kamarátka vyhodí loptu a ty chceš vedieť, kedy bola lopta vyššie ako 2 metre. Nehľadáš jeden okamih, ale celý časový úsek. Presne to robí nerovnica: namiesto jedného čísla hľadá všetky čísla, ktoré spĺňajú podmienku. Pri kvadratickej nerovnici nám pomôže parabola.

Kvadratická nerovnica má tvar ax² + bx + c > 0 (alebo <, ≥, ≤), kde a ≠ 0.

Obsah

Postup v troch krokoch

Riešme (x − 1)(x − 4) < 0. Čítame: „pre ktoré x je súčin záporný?“

  1. Korene. Výraz je nulový pre x = 1 a x = 4. Tam parabola pretína os x.
  2. Náčrt. Po roznásobení je pri x² číslo +1, ramená idú nahor. Medzi koreňmi je parabola pod osou x, mimo nich nad osou.
  3. Výber. Hľadáme „< 0“, teda časť pod osou x. To je medzi koreňmi.
Parabola y = (x − 1)(x − 4); časť medzi koreňmi 1 a 4 je pod osou x a je zvýraznená oranžovou, korene sú prázdne krúžky

Riešenie: x ∈ (1; 4).

Zápis (1; 4) je otvorený interval — čísla medzi 1 a 4, ale bez 1 a 4. Okrúhle zátvorky znamenajú „krajný bod nepatrí“, lomené ⟨ ⟩ „krajný bod patrí“.

Korene nepatria, lebo v nich je výraz rovný nule a 0 < 0 neplatí.

Riešené príklady

Riešený príklad 1

x² − x − 6 ≥ 0

  1. Korene rovnice x² − x − 6 = 0: rozklad (x − 3)(x + 2) = 0, teda x₁ = −2, x₂ = 3.
  2. a = 1 > 0, ramená nahor: nad osou x je parabola vľavo od −2 a vpravo od 3.
  3. Hľadáme „≥ 0“ — nad osou alebo na nej, preto korene patria.

Riešenie: x ∈ (−∞; −2⟩ ∪ ⟨3; ∞).

Znak ∪ čítame „zjednotenie“ — riešením sú čísla z jedného alebo z druhého intervalu. Pri nekonečne (∞) je zátvorka vždy okrúhla.

Riešený príklad 2 (a < 0)

−x² + 2x + 8 > 0

  1. Korene: −x² + 2x + 8 = 0 ⇔ x² − 2x − 8 = 0 ⇔ (x − 4)(x + 2) = 0, teda x₁ = −2, x₂ = 4.
  2. a = −1 < 0, ramená nadol: nad osou x je parabola medzi koreňmi.
  3. Hľadáme „> 0“, teda nad osou, bez koreňov.

Riešenie: x ∈ (−2; 4).

💡 Iný spôsob: celú nerovnicu vynásob −1. Znak sa otočí: x² − 2x − 8 < 0, a to je opäť (−2; 4).

Keď parabola os x nepretne

x² + 2x + 5 > 0

  1. Diskriminant D = 4 − 20 = −16 < 0. Rovnica nemá reálne korene, parabola os x nepretne.
  2. a = 1 > 0, ramená nahor. Celá parabola je nad osou x — výraz je vždy kladný.
  3. Hľadáme „> 0“: platí pre každé x.

Riešenie: x ∈ ℝ (všetky reálne čísla).

Keby sme hľadali x² + 2x + 5 < 0, riešenie by bolo prázdna množina ∅ — také x neexistuje.

Dvojnásobný koreň

x² − 6x + 9 > 0, čiže (x − 3)² > 0.

  • Druhá mocnina je vždy ≥ 0. Nula vyjde len pre x = 3.
  • Riešenie: všetky čísla okrem 3, zapisujeme x ∈ ℝ ∖ {3} („ℝ bez trojky“).

Ďalšie varianty: (x − 3)² ≥ 0 má riešenie ℝ, (x − 3)² < 0 nemá riešenie (∅), (x − 3)² ≤ 0 má jediné riešenie x = 3, zapisujeme {3}.

Prehľad

Pre a > 0 a dva korene x₁ < x₂:

NerovnicaKde je parabolaRiešenie
ax² + bx + c > 0nad osou x, mimo koreňov(−∞; x₁) ∪ (x₂; ∞)
ax² + bx + c ≥ 0nad osou alebo na nej(−∞; x₁⟩ ∪ ⟨x₂; ∞)
ax² + bx + c < 0pod osou x, medzi koreňmi(x₁; x₂)
ax² + bx + c ≤ 0pod osou alebo na nej⟨x₁; x₂⟩

Pri a < 0 je to naopak: kladné hodnoty sú medzi koreňmi.

Najčastejšie chyby

  • Riešenie ako pri rovnici. x² < 9 neznamená x < 3. Riešením je x ∈ (−3; 3).
  • Zabudnuté otočenie znaku pri násobení záporným číslom.
  • Zlé zátvorky. Pri < a > korene nepatria (okrúhla zátvorka), pri ≤ a ≥ patria (lomená). Pri ∞ je zátvorka vždy okrúhla.
  • „Bez koreňov = bez riešenia.“ Nie vždy! x² + 1 > 0 platí pre všetky x.

V skratke

  1. Nájdi korene (rozklad, vzorec alebo vrcholový tvar).
  2. Načrtni parabolu: a > 0 nahor, a < 0 nadol.
  3. „> 0“ = nad osou x, „< 0“ = pod osou x.
  4. Pri ≤ a ≥ korene patria do riešenia.

Skús si sám

  1. x² − 5x + 4 ≤ 0
  2. x² − 9 > 0
  3. −x² + 4x − 3 ≥ 0
  4. x² + x + 1 < 0
Riešenia:
  1. Korene 1 a 4, a > 0, medzi koreňmi vrátane: x ∈ ⟨1; 4⟩.
  2. Korene −3 a 3, mimo nich: x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; ∞).
  3. Korene 1 a 3, a < 0, nad osou je parabola medzi koreňmi: x ∈ ⟨1; 3⟩.
  4. D = 1 − 4 < 0, parabola je celá nad osou: nemá riešenie, ∅.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Funkcie s absolútnou hodnotou