Kvadratická funkcia a jej graf — vrchol, doplnenie na štvorec

Keď hodíš loptu šikmo nahor, letí po oblúku: najprv stúpa, v najvyššom bode sa na okamih „zastaví“ a potom padá. Ten oblúk je parabola — graf kvadratickej funkcie. Rovnaký tvar má prúd vody z fontány aj prierez satelitnej antény.

Kvadratická funkcia má predpis

y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0.

Čísla a, b, c sú koeficienty. Napríklad y = 2x² − 4x + 1 má a = 2, b = −4, c = 1.

Obsah

Čo robí číslo a

Štyri paraboly s vrcholom v začiatku: y = x², užšia y = 2x², širšia y = ½x² a obrátená y = −x²
  • a > 0: ramená paraboly idú nahor, vrchol je najnižší bod.
  • a < 0: ramená idú nadol, vrchol je najvyšší bod.
  • Čím je |a| väčšie, tým je parabola užšia. y = 2x² je užšia ako y = x², y = ½x² je širšia.

💡 Pomôcka: od vrcholu choď o 1 doprava. Graf stúpne presne o a (pri y = 2x² o 2, pri y = −x² klesne o 1).

Vrcholový tvar

Najdôležitejší bod paraboly je vrchol V. Ak je predpis v tvare

y = a(x − m)² + n,

vrchol je V = [m; n]. Celá parabola y = ax² je len posunutá: o m doprava a o n nahor.

  • y = (x − 3)² − 4 má vrchol V = [3; −4].
  • y = (x + 2)² + 1 = (x − (−2))² + 1 má vrchol V = [−2; 1].

⚠️ Pozor na znamienko: x − 3 posúva doprava, x + 2 posúva doľava.

Zvislá priamka cez vrchol x = m je os súmernosti paraboly. Ľavá a pravá polovica sú podľa nej zrkadlové.

Doplnenie na štvorec

Predpis zvyčajne dostaneme v tvare ax² + bx + c. Do vrcholového tvaru ho prevedieme doplnením na štvorec. Využívame vzorec (x + d)² = x² + 2dx + d².

Riešený príklad 1

y = x² − 6x + 5. Nájdi vrchol.

  1. Pri x je −6. Polovica je −3, preto použijeme (x − 3)² = x² − 6x + 9.
  2. V predpise je +5, nie +9. Upravíme: x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5.
  3. y = (x − 3)² − 4.
  4. Vrchol V = [3; −4], os paraboly x = 3.

![Parabola y = (x − 3)² − 4 s vrcholom [3; −4], osou súmernosti x = 3 a priesečníkmi [1; 0], [5; 0] a [0; 5]](/images/high-school/elementary-functions/quadratic-vertex.png)

Riešený príklad 2 (a ≠ 1)

y = 2x² + 8x + 3.

  1. Vyberieme 2 pred zátvorku z prvých dvoch členov: y = 2(x² + 4x) + 3.
  2. V zátvorke doplníme: x² + 4x = (x + 2)² − 4.
  3. y = 2[(x + 2)² − 4] + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5.
  4. Vrchol V = [−2; −5].

💡 Rýchla kontrola: x-ová súradnica vrcholu je vždy . Pre príklad 2: −8/4 = −2. ✓ y-ovú súradnicu dostaneš dosadením: 2 · 4 − 16 + 3 = −5. ✓

Priesečníky s osami

S osou y: dosadíme x = 0. Vyjde y = c. Graf y = x² − 6x + 5 pretína os y v bode [0; 5]. S osou x: hľadáme x, pre ktoré y = 0, teda riešime rovnicu ax² + bx + c = 0. Z vrcholového tvaru to ide rýchlo:

Riešený príklad 3

(x − 3)² − 4 = 0

  1. (x − 3)² = 4.
  2. x − 3 = 2 alebo x − 3 = −2.
  3. x₁ = 5, x₂ = 1. Priesečníky sú [1; 0] a [5; 0].

Graf os x nemusí pretínať. Napríklad y = (x − 1)² + 3: vrchol [1; 3] je nad osou x a ramená idú nahor, takže parabola os x nikdy nedosiahne. Rovnica (x − 1)² = −3 nemá riešenie.

💡 Priesečníky s osou x ležia súmerne okolo osi paraboly. Pri príklade 3: 1 a 5 sú od čísla 3 rovnako ďaleko.

Ako priradiť predpis ku grafu

  1. Vrchol [m; n] → predpis má tvar a(x − m)² + n.
  2. Smer ramien → znamienko a.
  3. Krok od vrcholu o 1 doprava → o koľko graf stúpne, to je a.
  4. Priesečník s osou y → číslo c v rozvinutom tvare.

Riešený príklad 4

Parabola má vrchol [−1; 2], ramená nadol a z vrcholu o 1 doprava klesne o 2. Predpis: y = −2(x + 1)² + 2. Po roznásobení y = −2x² − 4x, priesečník s osou y je [0; 0].

Najčastejšie chyby

  • Zlé znamienko vrcholu. y = (x + 4)² má vrchol v x = −4, nie 4.
  • Zabudnuté a pri doplnení na štvorec. V príklade 2 treba −4 vynásobiť dvomi: 2 · (−4) = −8.
  • Zámena priesečníka s osou y a vrcholu. Priesečník s osou y je [0; c], vrchol je [m; n].
  • „Každá parabola pretína os x.“ Nie, ak je vrchol nad osou a ramená idú nahor (alebo pod osou a nadol), priesečníky nie sú.

V skratke

  • y = ax² + bx + c, a ≠ 0, graf je parabola.
  • a > 0 ramená nahor, a < 0 nadol, väčšie |a| = užšia parabola.
  • y = a(x − m)² + n má vrchol V = [m; n] a os x = m.
  • Doplnenie na štvorec: x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)².
  • Os y: [0; c]. Os x: riešenia rovnice ax² + bx + c = 0.

Skús si sám

  1. Nájdi vrchol paraboly y = x² + 4x + 1.
  2. Nájdi vrchol paraboly y = −x² + 6x − 5.
  3. Nájdi priesečníky grafu y = x² − 2x − 3 s osou x a s osou y.
Riešenia:
  1. y = (x + 2)² − 3, V = [−2; −3].
  2. y = −(x² − 6x) − 5 = −(x − 3)² + 9 − 5 = −(x − 3)² + 4, V = [3; 4].
  3. y = (x − 1)² − 4, takže x − 1 = ±2: priesečníky s osou x [−1; 0] a [3; 0]. S osou y [0; −3].

Precvič si

👉 Ďalší článok: Kvadratické nerovnice