Párna a nepárna funkcia

Zlož papier na polovicu, kvapni naň atrament a znovu ho rozlož. Vznikne obrázok, ktorého ľavá polovica je zrkadlovým obrazom pravej. Niektoré grafy funkcií vyzerajú presne tak — sú súmerné podľa osi y. Takým funkciám hovoríme párne. Iné grafy sa po otočení o pol kruhu okolo bodu [0; 0] prekryjú samy so sebou. To sú funkcie nepárne.

Párna funkcia

Vezmime f(x) = x². Dosaďme 3 a −3:

f(3) = 3² = 9,
f(−3) = (−3)² = 9.

Pre opačné čísla vyšla rovnaká hodnota. To platí pre každé x, lebo druhá mocnina znamienko „zje“.

Funkcia f je párna, ak pre každé x z definičného oboru platí:

f(−x) = f(x) — čítame „f od mínus x sa rovná f od x“.

![Parabola súmerná podľa osi y; body [−3; 2,5] a [3; 2,5] aj [−2; 0] a [2; 0] sú zrkadlové](/images/high-school/elementary-functions/parity-even.png)

Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi y. Bod [a; b] na grafe má vždy „dvojča“ [−a; b].

Párne sú napríklad x², x⁴, |x|, x² − 5, 3/(x² + 1).

Nepárna funkcia

Vezmime f(x) = x³:

f(2) = 2³ = 8,
f(−2) = (−2)³ = −8.

Pre opačné čísla vyšli opačné hodnoty.

Funkcia f je nepárna, ak pre každé x z definičného oboru platí:

f(−x) = −f(x) — čítame „f od mínus x sa rovná mínus f od x“.

![Graf v tvare ležatého S, súmerný podľa začiatku súradnicovej sústavy; body [3; 3,75] a [−3; −3,75] sú súmerné](/images/high-school/elementary-functions/parity-odd.png)

Graf nepárnej funkcie je súmerný podľa začiatku [0; 0]. Bod [a; b] má „dvojča“ [−a; −b].

Nepárne sú napríklad x, x³, x⁵, 1/x, x³ − 4x.

💡 Mená nie sú náhodné: x² a x⁴ majú párny exponent a sú párne, x a x³ majú nepárny exponent a sú nepárne.

Ako to overiť výpočtom

Postup má tri kroky:

Skontroluj, či je definičný obor súmerný podľa nuly (s každým x obsahuje aj −x).
Do predpisu dosaď −x namiesto x a uprav.
Porovnaj výsledok s f(x) a s −f(x).

Riešený príklad 1

f(x) = x⁴ − 3x².

Definičný obor je ℝ, je súmerný.
f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x².
Vyšiel pôvodný predpis: f(−x) = f(x). Funkcia je párna.

Riešený príklad 2

f(x) = x³ − 5x.

Definičný obor je ℝ.
f(−x) = (−x)³ − 5(−x) = −x³ + 5x.
To je −(x³ − 5x) = −f(x). Funkcia je nepárna.

Riešený príklad 3

f(x) = $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Menovateľ x² + 1 nie je nikdy nula, definičný obor je ℝ.
f(−x) = $\frac{2 ( - x )}{( - x ) ^{2} + 1} = \frac{- 2 x}{x ^{2} + 1}$ .
To je −f(x). Funkcia je nepárna.

Ani párna, ani nepárna

Väčšina funkcií nie je ani párna, ani nepárna.

Riešený príklad 4

f(x) = x² + x.

f(2) = 4 + 2 = 6,
f(−2) = 4 − 2 = 2.

Hodnota 2 sa nerovná 6 (nie je párna) ani −6 (nie je nepárna). Na vyvrátenie stačí jeden takýto príklad.

💡 Typický znak: predpis mieša párne a nepárne mocniny (x² + x), alebo je graf posunutý doboku, napríklad |x − 2| alebo (x − 1)².

Pozor na definičný obor

Funkcia f(x) = x² pre x ∈ ⟨−2; 3⟩ nie je párna. Číslo 3 do oboru patrí, ale −3 nie. Nemáme s čím porovnať, preto rovnosť f(−3) = f(3) nemôže platiť.

Ak definičný obor nie je súmerný podľa nuly, funkcia nie je ani párna, ani nepárna — bez ohľadu na predpis.

Najčastejšie chyby

(−x)² = −x². Nie! (−x)² = x², mínus sa umocnením stratí. Ale (−x)³ = −x³.
Overenie len pre jedno číslo. Párnosť musí platiť pre všetky x. Jeden príklad stačí len na to, aby sme ukázali, že funkcia párna (nepárna) nie je.
Zabudnutá konštanta. x³ + 2 nie je nepárna: f(−x) = −x³ + 2, ale −f(x) = −x³ − 2.
Ignorovaný definičný obor. Nesúmerný obor = ani párna, ani nepárna.

V skratke

Párna: f(−x) = f(x), graf súmerný podľa osi y.
Nepárna: f(−x) = −f(x), graf súmerný podľa bodu [0; 0].
Najprv over, či je definičný obor súmerný podľa nuly.
Dosaď −x, uprav a porovnaj s f(x) a −f(x).

Skús si sám

Rozhodni, či je funkcia párna, nepárna, alebo ani jedno:

f(x) = 2x⁶ − x²
f(x) = x⁵ + x
f(x) = x³ + 1
f(x) = |x| − 4
f(x) = x² pre x ∈ ⟨−3; 3⟩

Riešenia: 1. párna, 2. nepárna, 3. ani jedno, 4. párna, 5. párna (obor je súmerný).

Precvič si

🔍 Párna a nepárna funkcia
📊 Vlastnosti funkcie z grafu

👉 Ďalší článok: Kvadratická funkcia a jej graf