Lineárna lomená funkcia a mocninové funkcie

Na výlet idete autobusom, ktorý stojí 120 eur, a cenu si rozdelíte rovnako. Ak vás ide 4, platí každý 30 eur. Ak 8, len 15 eur. Čím viac ľudí, tým menej platí každý, ale cena nikdy neklesne na nulu. To je nepriama úmernosť y = 120/x a jej graf je hyperbola.

Obsah

Hyperbola a asymptoty

Funkcia y = k/x (k ≠ 0) nie je definovaná pre x = 0 — nulou deliť nemožno. Jej graf má dve vetvy.

  • Pre x blízko nuly je k/x obrovské číslo: graf „uletí“ nahor alebo nadol popri osi y.
  • Pre veľké x je k/x takmer nula: graf sa „prituľuje“ k osi x.

Priamky, ku ktorým sa graf stále približuje, ale nikdy ich nedosiahne, sa volajú asymptoty. Pri y = k/x sú to osi x a y.

  • k > 0: vetvy sú v I. a III. kvadrante, funkcia klesá na každej vetve.
  • k < 0: vetvy sú v II. a IV. kvadrante, funkcia rastie na každej vetve.

Posunutá hyperbola

Prerušovaná hyperbola y = 1/x a oranžová hyperbola y = 3/(x − 2) + 1 s asymptotami x = 2 a y = 1

Funkcia

y =

má rovnakú hyperbolu ako y = k/x, len posunutú: o m doprava a o n nahor. Asymptoty sú:

  • zvislá x = m — tam je menovateľ nulový,
  • vodorovná y = n — k tomuto číslu sa y blíži pre veľké x.

Riešený príklad 1

y = .

  1. Menovateľ x − 2 = 0 pre x = 2. Zvislá asymptota x = 2.
  2. Zlomok 3/(x − 2) je pre veľké x takmer nula, preto y ≈ 1. Vodorovná asymptota y = 1.
  3. Definičný obor ℝ ∖ {2}, obor hodnôt ℝ ∖ {1}.

⚠️ Znamienko: y = 5/(x + 3) − 2 má asymptoty x = −3 a y = −2.

Lineárna lomená funkcia vo všeobecnom tvare

Lineárna lomená funkcia je podiel dvoch lineárnych výrazov:

y = , kde c ≠ 0 a výrazy v čitateli a menovateli nie sú násobkami.

Asymptoty nájdeme tak, že zlomok vydelíme — prevedieme ho na tvar k/(x − m) + n.

Riešený príklad 2

y = .

  1. Čitateľ zapíšeme pomocou menovateľa: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.
  2. y = .
  3. Asymptoty: x = 1 a y = 2.

💡 Skratka: zvislá asymptota je tam, kde je menovateľ nulový. Vodorovná je podiel čísel pri x: y = a/c. Tu 2/1 = 2.

Mocninové funkcie

Mocninová funkcia má predpis y = xⁿ. Jej vlastnosti závisia od toho, či je exponent n párny alebo nepárny a či je kladný alebo záporný. Grafy y = x², y = x⁴ a y = x⁻²; všetky sú súmerné podľa osi y Párny kladný exponent (x², x⁴, …): graf ako parabola, funkcia je párna, D = ℝ, H = ⟨0; ∞), má minimum 0, na ⟨0; ∞) rastie. Párny záporný exponent (x⁻² = 1/x², x⁻⁴, …): funkcia je párna, D = ℝ ∖ {0}, H = (0; ∞), na (0; ∞) klesá, minimum nemá. Grafy y = x³ a y = x⁻¹; oba sú súmerné podľa začiatku Nepárny kladný exponent (x³, x⁵, …): funkcia je nepárna, rastúca na celom ℝ, D = H = ℝ. Nepárny záporný exponent (x⁻¹ = 1/x, x⁻³, …): hyperbola, funkcia je nepárna, D = H = ℝ ∖ {0}, na (0; ∞) klesá.

Zápis x⁻² čítame „x na mínus druhú“ a znamená 1/x².

💡 Všetky grafy y = xⁿ prechádzajú bodom [1; 1]. Pre kladné n prechádzajú aj bodom [0; 0].

Najčastejšie chyby

  • Zlé znamienko asymptoty. Pri 1/(x + 4) je zvislá asymptota x = −4.
  • Zabudnutá vodorovná asymptota. Pri y = k/(x − m) + n je to y = n, nie os x.
  • x⁻² = −x². Nie! x⁻² = 1/x², je vždy kladné.
  • „Hyperbola je klesajúca.“ Pri k > 0 klesá na každej vetve zvlášť, ale na celom definičnom obore klesajúca nie je: −1 < 1, a predsa 1/(−1) < 1/1.

V skratke

  • y = k/(x − m) + n: hyperbola, asymptoty x = m a y = n.
  • (ax + b)/(cx + d): vydeľ, alebo použi x = −d/c a y = a/c.
  • y = xⁿ: párne n → párna funkcia, nepárne n → nepárna funkcia.
  • Záporné n: graf sa nedotkne osí, D neobsahuje nulu.

Skús si sám

  1. Urči asymptoty funkcie y = 4/(x + 1) − 3.
  2. Urči asymptoty funkcie y = (x + 5)/(x − 2).
  3. Je funkcia y = x⁻³ párna, alebo nepárna? Aký má definičný obor?
Riešenia:
  1. x = −1, y = −3.
  2. x + 5 = (x − 2) + 7, teda y = 1 + 7/(x − 2): x = 2, y = 1.
  3. Nepárna (exponent −3 je nepárny), D = ℝ ∖ {0}.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Prostá a inverzná funkcia