Kvadratická funkcia s absolútnou hodnotou — grafy a počet riešení

V článku o funkciách s absolútnou hodnotou sme z priamky dostali graf v tvare V. Teraz rovnakú myšlienku použijeme na parabolu. Absolútna hodnota môže stáť na dvoch miestach a každé miesto zmení graf inak:

y = |x² − 4x + 3| — absolútna hodnota celého predpisu,
y = x² − 4|x| + 3 — absolútna hodnota len pri x.

Vo všetkých príkladoch budeme pracovať s tou istou parabolou g(x) = x² − 4x + 3. Doplnením na štvorec g(x) = (x − 2)² − 1: vrchol je [2; −1], os x pretína v bodoch [1; 0] a [3; 0], os y v bode [0; 3].

Absolútna hodnota celého predpisu

Pri y = |g(x)| najprv vypočítame hodnotu paraboly a až potom ju „otočíme“ na kladnú. Kladné hodnoty ostanú, záporné zmenia znamienko.

x	0	1	2	3	4
g(x)	3	0	−1	0	3
\|g(x)\|	3	0	1	0	3

Prerušovaná parabola y = x² − 4x + 3 a oranžový graf y = |x² − 4x + 3|: časť medzi x = 1 a x = 3 je preklopená nad os x

Na grafe to znamená: časť paraboly pod osou x sa preklopí nahor (zrkadlí sa podľa osi x). Medzi koreňmi 1 a 3 tak vznikne malý „oblúčik“ s najvyšším bodom [2; 1]. Graf y = |g(x)| nikdy neklesne pod os x.

Absolútna hodnota len pri x

Pri y = x² − 4|x| + 3 je to inak. Pre x ≥ 0 je |x| = x, takže predpis je rovnaký ako g(x). Pre záporné x dostaneme rovnakú hodnotu ako pre opačné kladné číslo: pre x = −1 aj x = 1 vyjde 1 − 4 + 3 = 0.

x	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
y	3	0	−1	0	3	0	−1	0	3

![Graf y = x² − 4|x| + 3: dve rovnaké „misky“ s vrcholmi [−2; −1] a [2; −1] a špičkou v bode [0; 3]](/images/high-school/elementary-functions/quadratic-abs-inner.png)

Postup kreslenia: nakreslíme len pravú polovicu paraboly (x ≥ 0) a zrkadlíme ju podľa osi y. Ľavá polovica pôvodnej paraboly sa zahodí. Výsledok je párna funkcia — graf je súmerný podľa osi y, s dvoma minimami [−2; −1] a [2; −1] a špičkou [0; 3].

💡 Pozor: tento graf môže ísť pod os x. Absolútna hodnota je len pri x, nie pri celom výsledku.

Počet riešení rovnice f(x) = c

Riešenia rovnice f(x) = c sú x-ové súradnice bodov, kde graf pretína vodorovnú priamku y = c. Stačí ich spočítať na obrázku.

Graf y = |x² − 4x + 3| s priamkami y = 1 (tri priesečníky) a y = 2 (dva priesečníky)

Riešený príklad 1

Koľko riešení má rovnica |x² − 4x + 3| = c pre rôzne c?

c	počet riešení	prečo
c < 0	0	graf je celý nad osou x alebo na nej
c = 0	2	body [1; 0] a [3; 0]
0 < c < 1	4	priamka pretne obe ramená aj oblúčik
c = 1	3	priamka sa oblúčika dotkne v bode [2; 1]
c > 1	2	priamka pretne len vonkajšie ramená

Pre c = 1 to overíme výpočtom: buď x² − 4x + 3 = 1, teda (x − 2)² = 2 a x = 2 ± √2, alebo x² − 4x + 3 = −1, teda (x − 2)² = 0 a x = 2. Spolu tri riešenia. ✓

Riešený príklad 2

Koľko riešení má rovnica x² − 4|x| + 3 = c?

c	počet riešení
c < −1	0
c = −1	2 (x = −2 a x = 2)
−1 < c < 3	4
c = 3	3 (x = −4, x = 0 a x = 4)
c > 3	2

Pre c = 3: pre x ≥ 0 riešime x² − 4x + 3 = 3, teda x(x − 4) = 0 a x = 0 alebo x = 4. Zrkadlením pribudne x = −4. Bod x = 0 leží na osi y, ten sa nezdvojí. Spolu tri riešenia. ✓

Ako rozlíšiť štyri podobné grafy

Z jednej paraboly g(x) vzniknú štyri rôzne grafy:

predpis	čo sa stane s parabolou	ako ho spoznáš
y = g(x)	nič	časť pod osou x, nie je súmerný podľa osi y
y = \|g(x)\|	časť pod osou x sa preklopí nahor	nikdy nie je pod osou x
y = g(\|x\|)	pravá polovica sa zrkadlí doľava	súmerný podľa osi y, môže ísť pod os x
y = \|g(\|x\|)\|	oboje	súmerný podľa osi y a nikdy nie je pod osou x

Najčastejšie chyby

Preklopenie celého grafu. Pri |g(x)| sa preklápa len časť pod osou x, časť nad osou ostáva bez zmeny.
Zrkadlenie ľavej polovice. Pri g(|x|) sa zachová pravá polovica (x ≥ 0), ľavá sa zahodí.
Zdvojený bod na osi y. Ak riešenie vyjde x = 0, zrkadlením nepribudne druhé riešenie.
„Dotyk sa nepočíta.“ Keď sa priamka y = c grafu len dotkne (vrchol oblúčika), je to jedno riešenie.

V skratke

y = |g(x)|: časť grafu pod osou x preklopíme nahor.
y = g(|x|): nakreslíme pravú polovicu (x ≥ 0) a zrkadlíme ju podľa osi y.
Počet riešení f(x) = c = počet priesečníkov grafu s priamkou y = c.
Pozor na dotykové body (vrchol, špička na osi y) — tam sa počet riešení mení.

Skús si sám

Koľko riešení má rovnica |x² − 4x + 3| = 2?
Koľko riešení má rovnica x² − 4|x| + 3 = 0? Aké sú?
Koľko riešení má rovnica x² − 4|x| + 3 = −2?

Riešenia:

Dve. x² − 4x + 3 = 2 dá (x − 2)² = 3 a x = 2 ± √3. Rovnica x² − 4x + 3 = −2 dá (x − 2)² = −1, to nemá riešenie.
Štyri: x² − 4x + 3 = 0 pre x ≥ 0 dá x = 1 a x = 3, zrkadlením pribudnú x = −1 a x = −3.
Žiadne. Najmenšia hodnota funkcie je −1 (v bodoch x = ±2), číslo −2 graf nikdy nedosiahne.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Lineárna lomená a mocninová funkcia