Vives junto a una parada y el autobús está a 300 metros de ti. Da igual que esos 300 metros sean hacia la izquierda o hacia la derecha: la distancia es la misma. Eso es exactamente lo que mide el valor absoluto: lo lejos que está un número del cero, sin importar la dirección.
|x| se lee «valor absoluto de x». |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.
Con más precisión: |x| = x si x ≥ 0, y |x| = −x si x < 0. Es decir, el valor absoluto «da la vuelta» a un número negativo y lo convierte en positivo.
Los puntos están sobre dos semirrectas que se juntan en el punto (0, 0). La gráfica parece una letra V. El punto (0, 0) es su vértice.
Propiedades: la función es par (la gráfica es simétrica respecto del eje Y), decrece en (−∞, 0], crece en [0, +∞), tiene un mínimo de 0 y no es inyectiva.
La gráfica desplazada
La gráfica de la función
y = |x − a| + b
es la misma V, pero desplazada de forma que el vértice queda en el punto (a, b).
y = |x − 2| + 1: vértice (2, 1), desplazamiento de 2 a la derecha y 1 hacia arriba.
y = |x + 3|: vértice (−3, 0), desplazamiento de 3 a la izquierda.
y = |x| − 4: vértice (0, −4), desplazamiento de 4 hacia abajo.
⚠️ La misma trampa que con la parábola: un menos dentro del valor absoluto desplaza a la derecha y un más, a la izquierda.
Ejemplo resuelto 1
Una gráfica en forma de V tiene el vértice en (−1, −2). ¿Cuál es su fórmula (si es igual de «empinada» que y = |x|)?
El vértice es (a, b) = (−1, −2), así que y = |x − (−1)| + (−2) = |x + 1| − 2.
Ecuaciones con valor absoluto
La ecuación |x − 3| = 5 pregunta: «¿qué números están a una distancia de 5 del tres?». En la recta numérica hay dos: 3 + 5 = 8 y 3 − 5 = −2.
Algebraicamente, la ecuación |expresión| = c (con c > 0) se divide en dos ecuaciones:
