En el artículo sobre funciones con valor absoluto una recta se convirtió en una gráfica en forma de V. Ahora aplicamos la misma idea a una parábola. El valor absoluto puede estar en dos sitios, y cada sitio cambia la gráfica de forma distinta:
y = |x² − 4x + 3| — valor absoluto de toda la expresión,
y = x² − 4|x| + 3 — valor absoluto solo en la x.
En todos los ejemplos usamos la misma parábola g(x) = x² − 4x + 3. Completando cuadrados, g(x) = (x − 2)² − 1: el vértice es (2, −1), corta al eje x en (1, 0) y (3, 0) y al eje y en (0, 3).
Índice
- Valor absoluto de toda la expresión
- Valor absoluto solo en la x
- Número de soluciones de f(x) = c
- Cómo distinguir cuatro gráficas parecidas
- Errores más frecuentes
- En resumen
- Pruébalo tú
- Practica
Valor absoluto de toda la expresión
En y = |g(x)| primero calculamos el valor de la parábola y después lo hacemos positivo. Los valores positivos se quedan igual; los negativos cambian de signo.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 |
| |g(x)| | 3 | 0 | 1 | 0 | 3 |
En la gráfica significa: la parte de la parábola que está bajo el eje x se refleja hacia arriba (respecto al eje x). Entre las raíces 1 y 3 aparece un pequeño «arco» con su punto más alto en (2, 1). La gráfica de y = |g(x)| nunca baja del eje x.
Valor absoluto solo en la x
En y = x² − 4|x| + 3 la cosa cambia. Para x ≥ 0 es |x| = x, así que la expresión es la misma que g(x). Para una x negativa se obtiene el mismo valor que para el número positivo opuesto: con x = −1 y con x = 1 sale 1 − 4 + 3 = 0.
| x | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 |
Cómo dibujarla: dibuja solo la mitad derecha de la parábola (x ≥ 0) y refléjala respecto al eje y. La mitad izquierda de la parábola original se descarta. El resultado es una función par: la gráfica es simétrica respecto al eje y, con dos mínimos en (−2, −1) y (2, −1) y un pico en (0, 3).
💡 Cuidado: esta gráfica sí puede bajar del eje x. El valor absoluto está solo en la x, no en todo el resultado.
Número de soluciones de f(x) = c
Las soluciones de f(x) = c son las coordenadas x de los puntos donde la gráfica corta a la recta horizontal y = c. Basta con contarlos en el dibujo.
Ejemplo resuelto 1
¿Cuántas soluciones tiene |x² − 4x + 3| = c según el valor de c?
| c | número de soluciones | por qué |
|---|---|---|
| c < 0 | 0 | la gráfica está entera sobre el eje x o en él |
| c = 0 | 2 | los puntos (1, 0) y (3, 0) |
| 0 < c < 1 | 4 | la recta corta las dos ramas y el arco |
| c = 1 | 3 | la recta toca el arco en (2, 1) |
| c > 1 | 2 | la recta corta solo las ramas exteriores |
Para c = 1 lo comprobamos con cálculo: o bien x² − 4x + 3 = 1, es decir (x − 2)² = 2 y x = 2 ± √2, o bien x² − 4x + 3 = −1, es decir (x − 2)² = 0 y x = 2. En total, tres soluciones. ✓