Función de proporcionalidad inversa, funciones racionales y funciones potencia

Os vais de excursión en un autobús que cuesta 120 euros y repartís el precio a partes iguales. Si vais 4, cada uno paga 30 euros. Si vais 8, solo 15 euros. Cuantas más personas, menos paga cada una, pero el precio nunca llega a cero. Esto es una proporcionalidad inversa, y = 120/x, y su gráfica es una hipérbola.

La hipérbola y sus asíntotas

La función y = k/x (k ≠ 0) no está definida para x = 0, porque no se puede dividir entre cero. Su gráfica tiene dos ramas.

Para x cerca de cero, k/x es un número enorme: la gráfica «se dispara» hacia arriba o hacia abajo pegada al eje Y.
Para x grandes, k/x es casi cero: la gráfica «se arrima» al eje X.

Las rectas a las que la gráfica se acerca cada vez más, pero sin llegar a tocarlas nunca, se llaman asíntotas. En y = k/x son los ejes X e Y.

k > 0: las ramas están en los cuadrantes I y III; la función decrece en cada rama.
k < 0: las ramas están en los cuadrantes II y IV; la función crece en cada rama.

La hipérbola desplazada

Hipérbola discontinua y = 1/x e hipérbola naranja y = 3/(x − 2) + 1 con las asíntotas x = 2 e y = 1

La función

y = $\frac{k}{x - m} + n$

tiene la misma hipérbola que y = k/x, pero desplazada: m hacia la derecha y n hacia arriba. Sus asíntotas son:

la vertical x = m, donde el denominador vale cero,
la horizontal y = n, el número al que se acerca y cuando x es grande.

Ejemplo resuelto 1

y = $\frac{3}{x - 2} + 1$ .

El denominador x − 2 vale 0 para x = 2. Asíntota vertical: x = 2.
La fracción 3/(x − 2) es casi cero para x grandes, así que y ≈ 1. Asíntota horizontal: y = 1.
Dominio: ℝ ∖ {2}; recorrido: ℝ ∖ {1}.

⚠️ Cuidado con el signo: y = 5/(x + 3) − 2 tiene las asíntotas x = −3 e y = −2.

La función racional en forma general

Una función racional de este tipo es el cociente de dos expresiones de primer grado:

y = $\frac{a x + b}{c x + d}$ , con c ≠ 0 y sin que el numerador sea múltiplo del denominador.

Las asíntotas se hallan dividiendo: pasamos la fracción a la forma k/(x − m) + n.

Ejemplo resuelto 2

y = $\frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

Escribimos el numerador a partir del denominador: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.
y = $\frac{2 ( x - 1 ) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$ .
Asíntotas: x = 1 e y = 2.

💡 Atajo: la asíntota vertical está donde el denominador vale cero. La horizontal es el cociente de los coeficientes de x: y = a/c. Aquí, 2/1 = 2.

Funciones potencia

Una función potencia tiene la fórmula y = xⁿ. Sus propiedades dependen de si el exponente n es par o impar y de si es positivo o negativo.

Gráficas de y = x², y = x⁴ e y = x⁻²; todas son simétricas respecto del eje Y

Exponente par positivo (x², x⁴, …): gráfica parecida a una parábola; la función es par, el dominio es ℝ, el recorrido es [0, +∞), tiene un mínimo de 0 y crece en [0, +∞). Exponente par negativo (x⁻² = 1/x², x⁻⁴, …): la función es par, el dominio es ℝ ∖ {0}, el recorrido es (0, +∞), decrece en (0, +∞) y no tiene mínimo. Gráficas de y = x³ e y = x⁻¹; las dos son simétricas respecto del origen

Gráficas de y = x³ e y = x⁻¹; las dos son simétricas respecto del origen

Exponente impar positivo (x³, x⁵, …): la función es impar y creciente en todo ℝ; dominio y recorrido son ℝ. Exponente impar negativo (x⁻¹ = 1/x, x⁻³, …): una hipérbola; la función es impar, dominio y recorrido son ℝ ∖ {0} y decrece en (0, +∞).

x⁻² se lee «x elevado a menos dos» y significa 1/x².

💡 Todas las gráficas de y = xⁿ pasan por el punto (1, 1). Si n es positivo, también pasan por el punto (0, 0).

Errores más frecuentes

Signo equivocado en la asíntota. En 1/(x + 4) la asíntota vertical es x = −4.
Olvidar la asíntota horizontal. En y = k/(x − m) + n es y = n, no el eje X.
x⁻² = −x². ¡No! x⁻² = 1/x², que siempre es positivo.
«La hipérbola es decreciente». Con k > 0 decrece en cada rama por separado, pero no es decreciente en todo su dominio: −1 < 1 y, sin embargo, 1/(−1) < 1/1.

En resumen

y = k/(x − m) + n: hipérbola con asíntotas x = m e y = n.
(ax + b)/(cx + d): divide, o usa x = −d/c e y = a/c.
y = xⁿ: n par → función par; n impar → función impar.
n negativo: la gráfica no toca los ejes y el dominio no contiene el cero.

Pruébalo tú

Halla las asíntotas de la función y = 4/(x + 1) − 3.
Halla las asíntotas de la función y = (x + 5)/(x − 2).
¿La función y = x⁻³ es par o impar? ¿Cuál es su dominio?

Soluciones:

x = −1, y = −3.
x + 5 = (x − 2) + 7, así que y = 1 + 7/(x − 2): x = 2, y = 1.
Impar (el exponente −3 es impar); dominio ℝ ∖ {0}.

Practica

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