En unas vacaciones en Londres conviertes precios: de euros a libras multiplicas por el tipo de cambio, y de libras a euros divides entre él. La segunda conversión hace exactamente el trabajo contrario que la primera. A una función «de vuelta» así la llamamos función inversa.
Si la función f convierte el número 3 en el número 7, la función inversa f⁻¹ convierte el 7 otra vez en 3.
f⁻¹ se lee «f a la menos uno» o «función inversa de f». Cuidado, no es una potencia: f⁻¹(x) no es 1/f(x).
La función inversa tiene que poder «devolver» el resultado sin dudas. Con y = x² no es posible: el valor 9 lo obtenemos tanto de 3 como de −3. Si preguntáramos «¿de dónde ha salido el 9?», la respuesta no sería única.
Una función es inyectiva si dos números x distintos nunca dan el mismo valor y. Solo las funciones inyectivas tienen función inversa.
Son inyectivas, por ejemplo, y = 2x + 1, y = x³, y = 1/x, y = √x.
No son inyectivas y = x², y = |x|, y = 5 (función constante).
💡 En la gráfica: si alguna recta horizontal corta la gráfica al menos dos veces, la función no es inyectiva. Tienes más en el artículo Propiedades de las funciones.
💡 Una función que no es inyectiva se puede «restringir». y = x² con x ≥ 0 ya es inyectiva, y su función inversa es y = √x.
Resultado: f⁻¹(x) = 4/(x + 1) + 3. Las asíntotas se han intercambiado: f tiene x = 3 e y = −1; f⁻¹ tiene x = −1 e y = 3.
La gráfica de la función inversa
Si el punto (a, b) está en la gráfica de f, entonces f lleva a en b. La función inversa lleva b en a, así que el punto (b, a) está en la gráfica de f⁻¹. Simplemente se intercambian las coordenadas.
Intercambiar las coordenadas es reflejar respecto de la recta y = x. Por eso:
Las gráficas de f y de f⁻¹ son simétricas respecto de la recta y = x.
En la imagen: el punto (1, 3) de la gráfica de f tiene su reflejo (3, 1) en la gráfica de f⁻¹.
Dominio y recorrido
Al intercambiar x e y también se intercambian el dominio y el recorrido:
el dominio de f⁻¹ = el recorrido de f,
el recorrido de f⁻¹ = el dominio de f.
Para f(x) = 4/(x − 3) − 1, el dominio es ℝ ∖ {3} y el recorrido es ℝ ∖ {−1}. Para la función inversa, el dominio es ℝ ∖ {−1} y el recorrido es ℝ ∖ {3}.
Errores más frecuentes
f⁻¹(x) = 1/f(x). ¡No! Aquí el menos uno no significa el inverso de un número. Con f(x) = 2x + 1, 1/f(x) = 1/(2x + 1), pero f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
Deshacer las operaciones en el orden equivocado. f(x) = 2x + 1 primero multiplica por 2 y después suma 1. La inversa tiene que restar primero 1 y solo después dividir entre 2: (x − 1)/2, no x/2 − 1.
Buscar la inversa de una función no inyectiva. y = x² en todo ℝ no tiene función inversa.
Reflejar respecto del eje Y. Las gráficas de f y f⁻¹ son simétricas respecto de la recta y = x, no respecto de un eje.
En resumen
La función inversa f⁻¹ deshace lo que hace f: si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.
Solo existe para funciones inyectivas.
Cálculo: y = f(x), intercambia x e y, despeja y.
La gráfica de f⁻¹ es el reflejo de la gráfica de f respecto de la recta y = x.
Dominio de f⁻¹ = recorrido de f; recorrido de f⁻¹ = dominio de f.
Pruébalo tú
Halla la función inversa de f(x) = 3x − 6.
Halla la función inversa de f(x) = 2/(x + 1).
El punto (−2, 5) está en la gráfica de f. ¿Qué punto está en la gráfica de f⁻¹?
