Propiedades de las funciones: monotonía, acotación, máximos, mínimos e inyectividad
Imagina que durante el verano apuntas cada día a las 14:00 la temperatura de la calle. En la gráfica ves enseguida cuándo hizo más calor, cuándo refrescó, cuál fue la temperatura más alta y si alguna vez bajó de cero. Esas mismas preguntas nos hacemos con cualquier función. Se llaman propiedades de la función y se pueden leer en la gráfica sin hacer cuentas.
En todo el artículo leemos la gráfica de izquierda a derecha, igual que el texto de un libro.
Una función es creciente en un intervalo si, de izquierda a derecha, su gráfica sube todo el rato. Una x mayor da una y mayor.
Una función es decreciente en un intervalo si, de izquierda a derecha, su gráfica baja todo el rato. Una x mayor da una y menor.
En la imagen, la función:
crece en el intervalo [−5, −2] (tramo naranja de la izquierda),
decrece en el intervalo [−2, 2] (tramo negro),
vuelve a crecer en el intervalo [2, 5].
La notación [−2, 2] se lee «intervalo cerrado de menos dos a dos». Contiene todos los números desde −2 hasta 2, incluidos los extremos.
En lenguaje matemático: la función f es creciente en el intervalo I si para cualesquiera dos números x₁ < x₂ de I se cumple f(x₁) < f(x₂). Con palabras: «si me muevo hacia la derecha, el valor sube».
Si en un intervalo la gráfica es un segmento horizontal, la función es constante allí: el valor no cambia. Y si en un intervalo la gráfica primero sube y luego baja, la función no es ni creciente ni decreciente en él.
💡 A las funciones crecientes y decrecientes las llamamos, en conjunto, monótonas.
Función acotada
Una función está acotada superiormente si su gráfica nunca sube por encima de cierta recta horizontal. Está acotada inferiormente si la gráfica nunca baja por debajo de cierta recta horizontal. Si se cumplen las dos cosas, decimos simplemente que está acotada.
La gráfica de la imagen se mantiene en la franja entre las rectas y = −1 e y = 3. La función está acotada superior e inferiormente.
Cuidado con las gráficas que tienen flechas en los extremos: la flecha indica que la gráfica sigue en esa misma dirección hasta el infinito.
Una flecha hacia arriba significa que la función no está acotada superiormente.
Una flecha hacia abajo significa que la función no está acotada inferiormente.
Las flechas horizontales no estropean la acotación.
Ejemplo resuelto 1
¿Está acotada la función y = x²?
Un cuadrado nunca es negativo, así que x² ≥ 0. La gráfica nunca baja del eje X: la función está acotada inferiormente.
Para x = 10 es y = 100; para x = 1000 es y = 1 000 000. Los valores crecen sin límite: la función no está acotada superiormente.
Máximo y mínimo
El máximo de una función es su valor más grande: la coordenada y del punto más alto de la gráfica. El mínimo es el valor más pequeño: la coordenada y del punto más bajo.
En la imagen de arriba, el punto más alto es (0, 3). La función tiene un máximo de 3 en x = 0.
Esta función no tiene mínimo. La gráfica se acerca cada vez más a la recta y = −1, pero nunca llega a tocarla. Cada valor es un poquito mayor que −1, así que ninguno es el más pequeño.
⚠️ Una función que no está acotada superiormente no puede tener máximo. Siempre hay un valor todavía mayor.
Ejemplo resuelto 2
Función y = −x² + 4. ¿Tiene máximo o mínimo?
−x² siempre es menor o igual que cero, así que y ≤ 0 + 4 = 4.
La función alcanza el valor 4 en x = 0. El máximo es 4.
Para x grandes los valores son tan pequeños como queramos (para x = 10 es y = −96). La función no tiene mínimo.
Función inyectiva
Una función es inyectiva si toma cada valor y como mucho una vez. Dos números x distintos nunca dan el mismo valor.
Un ejemplo de la vida diaria: la asignación «alumno → número de lista» es inyectiva, porque cada número corresponde a un solo alumno. La asignación «alumno → mes de nacimiento» no lo es, porque en un mismo mes han nacido varios alumnos.
La función y = x² − 2 no es inyectiva: tanto para x = −2 como para x = 2 obtenemos y = 2.
La función y = x³/4 sí es inyectiva. La gráfica sube todo el rato, así que alcanza cada altura una sola vez.
💡 Prueba de la recta horizontal: si alguna recta horizontal corta la gráfica al menos dos veces, la función no es inyectiva.
💡 Toda función creciente en todo su dominio (o decreciente en todo él) es inyectiva. Las funciones inyectivas son importantes porque solo ellas tienen función inversa.
Errores más frecuentes
Leer la gráfica de derecha a izquierda. «Creciente» siempre significa subir de izquierda a derecha.
Confundir el máximo con el lugar donde se alcanza. El máximo es el valor de y (por ejemplo 3), no la x en la que la función lo alcanza.
No hacer caso de las flechas. Una flecha hacia arriba significa que no hay máximo, aunque en el dibujo se vea un punto «más alto».
«Tiene mínimo porque se acerca a −1». Acercarse no basta: la función tiene que alcanzar de verdad ese valor.
Inyectiva = creciente. Toda función creciente es inyectiva, pero, por ejemplo, y = 1/x es inyectiva y no es creciente.
En resumen
Creciente: sube de izquierda a derecha. Decreciente: baja de izquierda a derecha.
Acotada superiormente: la gráfica no sube por encima de cierta recta. Acotada inferiormente: no baja por debajo de cierta recta.
Máximo / mínimo: el valor de y más grande / más pequeño que la función alcanza de verdad.
Inyectiva: cada y como mucho una vez. Prueba de la recta horizontal.
Pruébalo tú
Para la función y = |x| (gráfica en forma de V con el vértice en (0, 0)), averigua:
¿En qué intervalo es decreciente y en cuál es creciente?
