Funciones pares e impares

Dobla un papel por la mitad, echa una gota de tinta y vuelve a desplegarlo. Sale un dibujo cuya mitad izquierda es el reflejo de la derecha. Algunas gráficas de funciones son exactamente así: simétricas respecto del eje Y. A esas funciones las llamamos pares. Otras gráficas coinciden consigo mismas cuando las giras media vuelta alrededor del punto (0, 0). Son las funciones impares.

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Índice

• Función par
• Función impar
• Cómo comprobarlo con cálculos
• Ni par ni impar
• Cuidado con el dominio
• Errores más frecuentes
• En resumen
• Pruébalo tú
• Practica

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Función par

Tomemos f(x) = x². Sustituimos 3 y −3:

• f(3) = 3² = 9,
• f(−3) = (−3)² = 9.

Para dos números opuestos sale el mismo valor. Esto pasa con cualquier x, porque al elevar al cuadrado el signo «desaparece».

La función f es par si para todo x de su dominio se cumple:

f(−x) = f(x). Se lee «f de menos x es igual a f de x».

La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y. Cada punto (a, b) de la gráfica tiene siempre un «gemelo» (−a, b).

Son pares, por ejemplo, x², x⁴, |x|, x² − 5 y 3/(x² + 1).

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Función impar

Tomemos f(x) = x³:

• f(2) = 2³ = 8,
• f(−2) = (−2)³ = −8.

Para números opuestos salen valores opuestos.

La función f es impar si para todo x de su dominio se cumple:

f(−x) = −f(x). Se lee «f de menos x es igual a menos f de x».

La gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen (0, 0). Cada punto (a, b) tiene un «gemelo» (−a, −b).

Son impares, por ejemplo, x, x³, x⁵, 1/x y x³ − 4x.

💡 Los nombres no son casualidad: x² y x⁴ tienen exponente par y son pares; x y x³ tienen exponente impar y son impares.

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Cómo comprobarlo con cálculos

El método tiene tres pasos:

1. Comprueba que el dominio es simétrico respecto del cero (si contiene un x, también contiene −x).
2. Sustituye x por −x en la fórmula y simplifica.
3. Compara el resultado con f(x) y con −f(x).

Ejemplo resuelto 1

f(x) = x⁴ − 3x².

1. El dominio es ℝ, que es simétrico.
2. f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x².
3. Ha salido la fórmula original: f(−x) = f(x). La función es par.

Ejemplo resuelto 2

f(x) = x³ − 5x.

1. El dominio es ℝ.
2. f(−x) = (−x)³ − 5(−x) = −x³ + 5x.
3. Eso es −(x³ − 5x) = −f(x). La función es impar.

Ejemplo resuelto 3

f(x) = $\frac{2x}{x^2+1}$.

1. El denominador x² + 1 nunca vale cero, así que el dominio es ℝ.
2. f(−x) = $\frac{2(-x)}{(-x{)}^2+1}=\frac{-2x}{x^2+1}$.
3. Eso es −f(x). La función es impar.

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Ni par ni impar

La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares.

Ejemplo resuelto 4

f(x) = x² + x.

• f(2) = 4 + 2 = 6,
• f(−2) = 4 − 2 = 2.

El valor 2 no es igual a 6 (no es par) ni a −6 (no es impar). Para descartarlo basta un solo ejemplo así.

💡 Una pista típica: la fórmula mezcla potencias pares e impares (x² + x), o la gráfica está desplazada hacia un lado, como |x − 2| o (x − 1)².

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Cuidado con el dominio

La función f(x) = x² con x ∈ [−2, 3] no es par. El número 3 pertenece al dominio, pero −3 no. No hay con qué comparar, así que la igualdad f(−3) = f(3) no puede cumplirse.

Si el dominio no es simétrico respecto del cero, la función no es ni par ni impar, sea cual sea su fórmula.

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Errores más frecuentes

• (−x)² = −x². ¡No! (−x)² = x²: el signo menos desaparece al elevar al cuadrado. En cambio, (−x)³ = −x³.
• Comprobarlo solo con un número. La paridad tiene que cumplirse para todos los x. Un ejemplo solo sirve para demostrar que la función no es par (o impar).
• Olvidar la constante. x³ + 2 no es impar: f(−x) = −x³ + 2, pero −f(x) = −x³ − 2.
• No mirar el dominio. Dominio no simétrico = ni par ni impar.

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En resumen

• Par: f(−x) = f(x), gráfica simétrica respecto del eje Y.
• Impar: f(−x) = −f(x), gráfica simétrica respecto del punto (0, 0).
• Primero comprueba que el dominio es simétrico respecto del cero.
• Sustituye −x, simplifica y compara con f(x) y con −f(x).

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Pruébalo tú

Decide si la función es par, impar o ninguna de las dos:

1. f(x) = 2x⁶ − x²
2. f(x) = x⁵ + x
3. f(x) = x³ + 1
4. f(x) = |x| − 4
5. f(x) = x² con x ∈ [−3, 3]

Soluciones: 1. par, 2. impar, 3. ninguna de las dos, 4. par, 5. par (el dominio es simétrico).

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Practica

• 🔍 Funciones pares e impares
• 📊 Propiedades de una función a partir de su gráfica

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