La función cuadrática y su gráfica: vértice y completar cuadrados

Cuando lanzas una pelota hacia arriba en diagonal, vuela describiendo un arco: primero sube, en el punto más alto se «detiene» un instante y luego cae. Ese arco es una parábola, la gráfica de una función cuadrática. La misma forma tiene el chorro de agua de una fuente o el corte de una antena parabólica.

Una función cuadrática tiene la fórmula

y = ax² + bx + c, con a ≠ 0.

Los números a, b y c son los coeficientes. Por ejemplo, y = 2x² − 4x + 1 tiene a = 2, b = −4 y c = 1.

Índice

Qué hace el número a

Cuatro parábolas con el vértice en el origen: y = x², la más estrecha y = 2x², la más ancha y = ½x² y la invertida y = −x²
  • a > 0: las ramas de la parábola van hacia arriba y el vértice es el punto más bajo.
  • a < 0: las ramas van hacia abajo y el vértice es el punto más alto.
  • Cuanto mayor es |a|, más estrecha es la parábola. y = 2x² es más estrecha que y = x²; y = ½x² es más ancha.

💡 Truco: desde el vértice avanza 1 hacia la derecha. La gráfica sube exactamente a (con y = 2x² sube 2; con y = −x² baja 1).

Forma canónica

El punto más importante de la parábola es el vértice V. Si la fórmula tiene la forma

y = a(x − m)² + n,

el vértice es V(m, n). La parábola entera es la de y = ax², solo que desplazada: m hacia la derecha y n hacia arriba.

  • y = (x − 3)² − 4 tiene el vértice V(3, −4).
  • y = (x + 2)² + 1 = (x − (−2))² + 1 tiene el vértice V(−2, 1).

⚠️ Cuidado con el signo: x − 3 desplaza a la derecha y x + 2 desplaza a la izquierda.

La recta vertical que pasa por el vértice, x = m, es el eje de simetría de la parábola. Las mitades izquierda y derecha son simétricas respecto de ella.

Completar cuadrados

Normalmente la fórmula viene en la forma ax² + bx + c. Para pasarla a la forma canónica completamos cuadrados. Usamos la identidad (x + d)² = x² + 2dx + d².

Ejemplo resuelto 1

y = x² − 6x + 5. Halla el vértice.

  1. El coeficiente de x es −6. Su mitad es −3, así que usamos (x − 3)² = x² − 6x + 9.
  2. En la fórmula hay +5, no +9. Lo arreglamos: x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5.
  3. y = (x − 3)² − 4.
  4. Vértice V(3, −4); eje de la parábola x = 3.
Parábola y = (x − 3)² − 4 con el vértice (3, −4), el eje de simetría x = 3 y los puntos de corte (1, 0), (5, 0) y (0, 5)

Ejemplo resuelto 2 (a ≠ 1)

y = 2x² + 8x + 3.

  1. Sacamos el 2 factor común de los dos primeros términos: y = 2(x² + 4x) + 3.
  2. Completamos el cuadrado dentro del paréntesis: x² + 4x = (x + 2)² − 4.
  3. y = 2[(x + 2)² − 4] + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5.
  4. Vértice V(−2, −5).

💡 Comprobación rápida: la coordenada x del vértice siempre es . En el ejemplo 2: −8/4 = −2. ✓ La coordenada y se obtiene sustituyendo: 2 · 4 − 16 + 3 = −5. ✓

Puntos de corte con los ejes

Con el eje Y: sustituimos x = 0. Sale y = c. La gráfica de y = x² − 6x + 5 corta el eje Y en el punto (0, 5). Con el eje X: buscamos los x para los que y = 0, es decir, resolvemos la ecuación ax² + bx + c = 0. Con la forma canónica es rápido:

Ejemplo resuelto 3

(x − 3)² − 4 = 0

  1. (x − 3)² = 4.
  2. x − 3 = 2 o bien x − 3 = −2.
  3. x₁ = 5, x₂ = 1. Los puntos de corte son (1, 0) y (5, 0).

La gráfica no tiene por qué cortar el eje X. Por ejemplo, y = (x − 1)² + 3: el vértice (1, 3) está por encima del eje X y las ramas van hacia arriba, así que la parábola nunca llega al eje X. La ecuación (x − 1)² = −3 no tiene solución.

💡 Los puntos de corte con el eje X están colocados simétricamente respecto del eje de la parábola. En el ejemplo 3, el 1 y el 5 están a la misma distancia del 3.

Cómo asociar la fórmula con la gráfica

  1. Vértice (m, n) → la fórmula tiene la forma a(x − m)² + n.
  2. Hacia dónde van las ramas → el signo de a.
  3. Un paso desde el vértice, 1 hacia la derecha → lo que sube la gráfica es a.
  4. Punto de corte con el eje Y → el número c de la forma desarrollada.

Ejemplo resuelto 4

Una parábola tiene el vértice (−1, 2), las ramas hacia abajo y, al avanzar 1 a la derecha desde el vértice, baja 2. Fórmula: y = −2(x + 1)² + 2. Al desarrollarla queda y = −2x² − 4x, y el punto de corte con el eje Y es (0, 0).

Errores más frecuentes

  • Signo equivocado en el vértice. y = (x + 4)² tiene el vértice en x = −4, no en 4.
  • Olvidar a al completar cuadrados. En el ejemplo 2 hay que multiplicar el −4 por dos: 2 · (−4) = −8.
  • Confundir el punto de corte con el eje Y y el vértice. El punto de corte con el eje Y es (0, c); el vértice es (m, n).
  • «Toda parábola corta el eje X». No: si el vértice está por encima del eje y las ramas van hacia arriba (o por debajo y hacia abajo), no hay puntos de corte.

En resumen

  • y = ax² + bx + c, a ≠ 0; su gráfica es una parábola.
  • a > 0: ramas hacia arriba; a < 0: hacia abajo; cuanto mayor es |a|, más estrecha es la parábola.
  • y = a(x − m)² + n tiene el vértice V(m, n) y el eje x = m.
  • Completar cuadrados: x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)².
  • Eje Y: (0, c). Eje X: soluciones de la ecuación ax² + bx + c = 0.

Pruébalo tú

  1. Halla el vértice de la parábola y = x² + 4x + 1.
  2. Halla el vértice de la parábola y = −x² + 6x − 5.
  3. Halla los puntos de corte de la gráfica de y = x² − 2x − 3 con el eje X y con el eje Y.
Soluciones:
  1. y = (x + 2)² − 3, V(−2, −3).
  2. y = −(x² − 6x) − 5 = −(x − 3)² + 9 − 5 = −(x − 3)² + 4, V(3, 4).
  3. y = (x − 1)² − 4, así que x − 1 = ±2: los puntos de corte con el eje X son (−1, 0) y (3, 0). Con el eje Y, (0, −3).

Practica

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