Inecuaciones de segundo grado: resolución con la parábola
Una amiga lanza una pelota hacia arriba y tú quieres saber cuándo estuvo la pelota a más de 2 metros de altura. No buscas un instante, sino todo un periodo de tiempo. Eso es justo lo que hace una inecuación: en lugar de un único número, busca todos los números que cumplen una condición. Con una inecuación de segundo grado nos ayuda la parábola.
Una inecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c > 0 (o con <, ≥, ≤), con a ≠ 0.
Resolvamos (x − 1)(x − 4) < 0. Se lee: «¿para qué valores de x el producto es negativo?».
Raíces. La expresión vale cero para x = 1 y x = 4. Ahí la parábola corta el eje X.
Esbozo. Al desarrollar, el coeficiente de x² es +1, así que las ramas van hacia arriba. Entre las raíces la parábola está por debajo del eje X; fuera de ellas, por encima.
Elección. Buscamos «< 0», es decir, la parte por debajo del eje X. Eso es entre las raíces.
Solución: x ∈ (1, 4).
La notación (1, 4) es un intervalo abierto: los números entre 1 y 4, pero sin el 1 ni el 4. Los paréntesis significan «el extremo no está incluido»; los corchetes [ ], «el extremo está incluido».
Las raíces no están incluidas porque en ellas la expresión vale cero, y 0 < 0 es falso.
Ejemplos resueltos
Ejemplo resuelto 1
x² − x − 6 ≥ 0
Raíces de la ecuación x² − x − 6 = 0: factorizamos (x − 3)(x + 2) = 0, así que x₁ = −2 y x₂ = 3.
a = 1 > 0, ramas hacia arriba: la parábola está por encima del eje X a la izquierda de −2 y a la derecha de 3.
Buscamos «≥ 0»: por encima del eje o sobre él, así que las raíces están incluidas.
Solución: x ∈ (−∞, −2] ∪ [3, +∞).
El signo ∪ se lee «unión»: la solución son los números de un intervalo o del otro. Junto al infinito (∞) siempre va paréntesis.
a = −1 < 0, ramas hacia abajo: la parábola está por encima del eje X entre las raíces.
Buscamos «> 0», es decir, por encima del eje, sin las raíces.
Solución: x ∈ (−2, 4).
💡 Otra forma: multiplica toda la inecuación por −1. El signo de desigualdad se invierte: x² − 2x − 8 < 0, y la solución vuelve a ser (−2, 4).
Cuando la parábola no corta el eje X
x² + 2x + 5 > 0
Discriminante: Δ = 4 − 20 = −16 < 0. La ecuación no tiene raíces reales y la parábola no corta el eje X.
a = 1 > 0, ramas hacia arriba. La parábola entera está por encima del eje X: la expresión siempre es positiva.
Buscamos «> 0»: se cumple para todo x.
Solución: x ∈ ℝ (todos los números reales).
Si buscáramos x² + 2x + 5 < 0, la solución sería el conjunto vacío ∅: no existe ningún x así.
Raíz doble
x² − 6x + 9 > 0, es decir, (x − 3)² > 0.
Un cuadrado siempre es ≥ 0. Solo vale cero para x = 3.
Solución: todos los números excepto el 3; se escribe x ∈ ℝ ∖ {3} («ℝ menos el tres»).
Otras variantes: (x − 3)² ≥ 0 tiene como solución ℝ; (x − 3)² < 0 no tiene solución (∅); (x − 3)² ≤ 0 tiene una única solución, x = 3, que se escribe {3}.
Tabla resumen
Para a > 0 y dos raíces x₁ < x₂:
Inecuación
Dónde está la parábola
Solución
ax² + bx + c > 0
por encima del eje X, fuera de las raíces
(−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)
ax² + bx + c ≥ 0
por encima del eje o sobre él
(−∞, x₁] ∪ [x₂, +∞)
ax² + bx + c < 0
por debajo del eje X, entre las raíces
(x₁, x₂)
ax² + bx + c ≤ 0
por debajo del eje o sobre él
[x₁, x₂]
Si a < 0, es al revés: los valores positivos están entre las raíces.
Errores más frecuentes
Resolverla como una ecuación. x² < 9 no significa x < 3. La solución es x ∈ (−3, 3).
Olvidar invertir el signo al multiplicar por un número negativo.
Paréntesis y corchetes equivocados. Con < y > las raíces no están incluidas (paréntesis); con ≤ y ≥ sí (corchetes). Junto a ∞ siempre va paréntesis.
«Sin raíces = sin solución». ¡No siempre! x² + 1 > 0 se cumple para todo x.
En resumen
Halla las raíces (factorizando, con la fórmula o con la forma canónica).
Esboza la parábola: a > 0 hacia arriba, a < 0 hacia abajo.
«> 0» = por encima del eje X; «< 0» = por debajo del eje X.
Con ≤ y ≥ las raíces forman parte de la solución.
Pruébalo tú
x² − 5x + 4 ≤ 0
x² − 9 > 0
−x² + 4x − 3 ≥ 0
x² + x + 1 < 0
Soluciones:
Raíces 1 y 4, a > 0, entre las raíces incluyéndolas: x ∈ [1, 4].
Raíces −3 y 3, fuera de ellas: x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞).
Raíces 1 y 3, a < 0, la parábola está por encima del eje entre las raíces: x ∈ [1, 3].
Δ = 1 − 4 < 0, la parábola está entera por encima del eje: no tiene solución, ∅.
