La función lineal — ecuación, pendiente m y ordenada en el origen n

La función lineal — ecuación, pendiente m y ordenada en el origen n

Un taxi cobra 3 € por la bajada de bandera y 1 € por cada kilómetro. Por 5 km pagas 3 + 5 · 1 = 8 €; por 10 km, 13 €. El precio y depende de los kilómetros x según la regla y = x + 3. Cada kilómetro de más suma la misma cantidad, y eso es justo una función lineal.

Una función lineal tiene la ecuación

y = mx + n, donde m y n son números reales.

Su gráfica es una recta. Por ejemplo, y = 2x − 3 tiene m = 2 y n = −3.

Índice

Qué significa el número n

Sustituimos x = 0: y = m · 0 + n = n. La gráfica pasa por el punto (0, n), y ahí corta al eje y. Por eso n se llama ordenada en el origen.

  • y = 2x + 1 corta al eje y en (0, 1).
  • y = −x + 4 corta al eje y en (0, 4).
  • y = 3x corta al eje y en (0, 0): la recta pasa por el origen.

En el ejemplo del taxi, n = 3: es lo que pagas aunque el taxi todavía no se haya movido (x = 0).

Qué significa el número m

El número m se llama pendiente. Indica cuánto cambia y cuando x aumenta en 1.

La recta y = 2x + 1: desde el punto (0, 1), 1 a la derecha y 2 hacia arriba hasta (1, 3)

En y = 2x + 1 empezamos en (0, 1). Avanzamos 1 a la derecha y subimos 2: estamos en (1, 3). Este «escalón» sirve en toda la recta: x = 2 da y = 5, x = 3 da y = 7.

Si m es una fracción, conviene un escalón más grande. En y = ⅔x − 2 lo más fácil es avanzar 3 a la derecha: y cambia en ⅔ · 3 = 2. Así, desde (0, −2) llegamos a (3, 0).

💡 La pendiente se lee con dos puntos cualesquiera de la recta: «cuánto sube» dividido entre «cuánto avanza».

Creciente, decreciente, constante

Tres rectas que pasan por (0, 1): creciente y = x + 1, decreciente y = −2x + 1 y horizontal y = 1

Las tres rectas del dibujo tienen n = 1; se diferencian en la pendiente:

  • m > 0: la función es creciente (y = x + 1). De izquierda a derecha, la gráfica sube.
  • m < 0: la función es decreciente (y = −2x + 1). De izquierda a derecha, la gráfica baja.
  • m = 0: la función es constante (y = 1). La gráfica es una recta horizontal.

Cuanto mayor es |m|, más inclinada es la recta. y = −2x + 1 es más inclinada que y = x + 1.

La ecuación a partir de dos puntos

Dos puntos determinan una recta. Con ellos calculamos m y n.

Ejemplo resuelto 1

La recta pasa por A(1, 1) y B(3, 5). Halla su ecuación.

  1. De A a B, x avanza 3 − 1 = 2 hacia la derecha e y sube 5 − 1 = 4.
  2. Pendiente: m = 4 : 2 = 2.
  3. Sustituimos A en y = 2x + n: 1 = 2 · 1 + n, así que n = −1.
  4. Ecuación: y = 2x − 1.

Comprobación con B: 2 · 3 − 1 = 5 ✓.

En general, para los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂):

Ejemplo resuelto 2

A(−2, 7), B(2, −1).

  1. m = (−1 − 7) : (2 − (−2)) = −8 : 4 = −2.
  2. n = 7 − (−2) · (−2) = 7 − 4 = 3.
  3. Ecuación: y = −2x + 3. La función es decreciente porque m < 0.

Comprobación con B: −2 · 2 + 3 = −1 ✓.

Puntos de corte con los ejes

La recta y = ⅔x − 2 con los cortes (3, 0) y (0, −2)
  • Con el eje y: sustituimos x = 0. Sale y = n, el punto es (0, n).
  • Con el eje x: buscamos la x para la que y = 0, es decir, resolvemos mx + n = 0.

Ejemplo resuelto 3

y = ⅔x − 2.

  1. Eje y: x = 0 da y = −2. Corte (0, −2).
  2. Eje x: ⅔x − 2 = 0, así que ⅔x = 2 y x = 2 · 3/2 = 3. Corte (3, 0).
  3. m = ⅔ > 0, la función es creciente.

⚠️ La función constante y = n (m = 0) no corta al eje x si n ≠ 0. La ecuación 0 · x + n = 0 no tiene solución.

Errores más frecuentes

  • Confundir m y n. En y = 3x − 5 la pendiente es 3 y el corte con el eje y es (0, −5), no (0, 3).
  • Errores de signo al restar. Con (−2, 7) y (2, −1), la diferencia de las x es 2 − (−2) = 4, no 0.
  • Fracción al revés. La pendiente es «cambio de y entre cambio de x», no al contrario.
  • Decidir por n si crece. Solo m decide si la función crece. y = −x + 100 es decreciente aunque n sea grande.

En resumen

  • y = mx + n; la gráfica es una recta.
  • n: el corte con el eje y es (0, n).
  • m: cuánto cambia y cuando x aumenta en 1. m > 0 creciente, m < 0 decreciente, m = 0 constante.
  • Con dos puntos: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) y luego n = y₁ − m · x₁.
  • Corte con el eje x: la solución de mx + n = 0.

Pruébalo tú

  1. Una recta pasa por (0, 4) y (2, 0). Halla su ecuación.
  2. Halla los cortes de la gráfica de y = −3x + 6 con los ejes. ¿La función es creciente o decreciente?
  3. ¿La función y = −½x + 1 es creciente o decreciente?
Soluciones:
  1. m = (0 − 4) : (2 − 0) = −2, n = 4 (punto (0, 4)). Ecuación y = −2x + 4.
  2. Eje y: (0, 6). Eje x: −3x + 6 = 0, x = 2, punto (2, 0). Decreciente, porque m = −3 < 0.
  3. Decreciente, porque m = −½ < 0.

Practica

👉 Siguiente artículo: La función cuadrática y su gráfica