Im Artikel über Betragsfunktionen wurde aus einer Geraden ein V-förmiger Graph. Jetzt wenden wir dieselbe Idee auf eine Parabel an. Der Betrag kann an zwei Stellen stehen, und jede Stelle verändert den Graphen anders:
y = |x² − 4x + 3| — Betrag des ganzen Terms,
y = x² − 4|x| + 3 — Betrag nur bei x.
In allen Beispielen arbeiten wir mit derselben Parabel g(x) = x² − 4x + 3. Mit quadratischer Ergänzung ist g(x) = (x − 2)² − 1: Der Scheitelpunkt ist S(2 | −1), die Nullstellen sind 1 und 3, die y-Achse wird im Punkt (0 | 3) geschnitten.
Inhalt
- Betrag des ganzen Terms
- Betrag nur bei x
- Anzahl der Lösungen von f(x) = c
- Vier ähnliche Graphen unterscheiden
- Häufige Fehler
- Kurz gesagt
- Probier es selbst
- Übe weiter
Betrag des ganzen Terms
Bei y = |g(x)| berechnen wir zuerst den Wert der Parabel und machen ihn erst danach positiv. Positive Werte bleiben, negative wechseln das Vorzeichen.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 |
| |g(x)| | 3 | 0 | 1 | 0 | 3 |
Am Graphen bedeutet das: Der Teil der Parabel unter der x-Achse wird nach oben geklappt (an der x-Achse gespiegelt). Zwischen den Nullstellen 1 und 3 entsteht so ein kleiner „Bogen“ mit dem höchsten Punkt (2 | 1). Der Graph von y = |g(x)| liegt nie unter der x-Achse.
Betrag nur bei x
Bei y = x² − 4|x| + 3 ist es anders. Für x ≥ 0 ist |x| = x, der Term ist also derselbe wie g(x). Für negative x erhält man denselben Wert wie für die entgegengesetzte positive Zahl: Für x = −1 und x = 1 ergibt sich jeweils 1 − 4 + 3 = 0.
| x | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 |
So zeichnest du ihn: Zeichne nur die rechte Hälfte der Parabel (x ≥ 0) und spiegle sie an der y-Achse. Die linke Hälfte der ursprünglichen Parabel fällt weg. Das Ergebnis ist eine gerade Funktion — der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, mit zwei Tiefpunkten (−2 | −1) und (2 | −1) und einer Spitze in (0 | 3).
💡 Achtung: Dieser Graph kann unter die x-Achse gehen. Der Betrag steht nur bei x, nicht beim ganzen Ergebnis.
Anzahl der Lösungen von f(x) = c
Die Lösungen von f(x) = c sind die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph die waagerechte Gerade y = c schneidet. Man muss sie nur im Bild zählen.
Beispiel 1
Wie viele Lösungen hat die Gleichung |x² − 4x + 3| = c für verschiedene c?
| c | Anzahl der Lösungen | warum |
|---|---|---|
| c < 0 | 0 | der Graph liegt ganz über der x-Achse oder auf ihr |
| c = 0 | 2 | die Punkte (1 | 0) und (3 | 0) |
| 0 < c < 1 | 4 | die Gerade schneidet beide Äste und den Bogen |
| c = 1 | 3 | die Gerade berührt den Bogen im Punkt (2 | 1) |
| c > 1 | 2 | die Gerade schneidet nur die äußeren Äste |
Für c = 1 prüfen wir das rechnerisch: Entweder x² − 4x + 3 = 1, also (x − 2)² = 2 und x = 2 ± √2, oder x² − 4x + 3 = −1, also (x − 2)² = 0 und x = 2. Zusammen drei Lösungen. ✓