Quadratische Ungleichungen — Lösen mit der Parabel
Eine Freundin wirft einen Ball hoch und du willst wissen, wann der Ball höher als 2 Meter war. Du suchst nicht einen Augenblick, sondern einen ganzen Zeitabschnitt. Genau das macht eine Ungleichung: Statt einer Zahl sucht sie alle Zahlen, die eine Bedingung erfüllen. Bei einer quadratischen Ungleichung hilft uns die Parabel.
Eine quadratische Ungleichung hat die Form ax² + bx + c > 0 (oder <, ≥, ≤), wobei a ≠ 0.
Lösen wir (x − 1)(x − 4) < 0. Man liest: „Für welche x ist das Produkt negativ?“
Nullstellen. Der Term ist null für x = 1 und x = 4. Dort schneidet die Parabel die x-Achse.
Skizze. Nach dem Ausmultiplizieren steht vor x² die Zahl +1, die Parabel ist nach oben geöffnet. Zwischen den Nullstellen liegt die Parabel unter der x-Achse, außerhalb darüber.
Auswahl. Wir suchen „< 0“, also den Teil unter der x-Achse. Das ist zwischen den Nullstellen.
Lösung: x ∈ (1; 4).
Die Schreibweise (1; 4) ist ein offenes Intervall — die Zahlen zwischen 1 und 4, aber ohne 1 und 4. Runde Klammern bedeuten „der Randpunkt gehört nicht dazu“, eckige Klammern [ ] bedeuten „der Randpunkt gehört dazu“.
Die Nullstellen gehören nicht dazu, denn dort ist der Term gleich null und 0 < 0 gilt nicht.
Beispiele
Beispiel 1
x² − x − 6 ≥ 0
Nullstellen der Gleichung x² − x − 6 = 0: Faktorisieren ergibt (x − 3)(x + 2) = 0, also x₁ = −2, x₂ = 3.
a = 1 > 0, nach oben geöffnet: Über der x-Achse liegt die Parabel links von −2 und rechts von 3.
Wir suchen „≥ 0“ — über der Achse oder auf ihr, deshalb gehören die Nullstellen dazu.
Lösung: x ∈ (−∞; −2] ∪ [3; ∞).
Das Zeichen ∪ liest man „vereinigt mit“ — Lösungen sind die Zahlen aus dem einen oder dem anderen Intervall. Bei unendlich (∞) ist die Klammer immer rund.
a = −1 < 0, nach unten geöffnet: Über der x-Achse liegt die Parabel zwischen den Nullstellen.
Wir suchen „> 0“, also über der Achse, ohne Nullstellen.
Lösung: x ∈ (−2; 4).
💡 Anderer Weg: Multipliziere die ganze Ungleichung mit −1. Das Zeichen dreht sich um: x² − 2x − 8 < 0, und das ergibt wieder (−2; 4).
Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet
x² + 2x + 5 > 0
Diskriminante D = 4 − 20 = −16 < 0. Die Gleichung hat keine reellen Nullstellen, die Parabel schneidet die x-Achse nicht.
a = 1 > 0, nach oben geöffnet. Die ganze Parabel liegt über der x-Achse — der Term ist immer positiv.
Wir suchen „> 0“: Das gilt für jedes x.
Lösung: x ∈ ℝ (alle reellen Zahlen).
Würden wir x² + 2x + 5 < 0 suchen, wäre die Lösung die leere Menge ∅ — ein solches x gibt es nicht.
Doppelte Nullstelle
x² − 6x + 9 > 0, also (x − 3)² > 0.
Ein Quadrat ist immer ≥ 0 (größer oder gleich null). Null kommt nur für x = 3 heraus.
Lösung: alle Zahlen außer 3, man schreibt x ∈ ℝ ∖ {3} („ℝ ohne 3“).
Weitere Varianten: (x − 3)² ≥ 0 hat die Lösung ℝ, (x − 3)² < 0 hat keine Lösung (∅), (x − 3)² ≤ 0 hat die einzige Lösung x = 3, man schreibt {3}.
Übersicht
Für a > 0 und zwei Nullstellen x₁ < x₂:
Ungleichung
Wo liegt die Parabel
Lösung
ax² + bx + c > 0
über der x-Achse, außerhalb der Nullstellen
(−∞; x₁) ∪ (x₂; ∞)
ax² + bx + c ≥ 0
über der Achse oder auf ihr
(−∞; x₁] ∪ [x₂; ∞)
ax² + bx + c < 0
unter der x-Achse, zwischen den Nullstellen
(x₁; x₂)
ax² + bx + c ≤ 0
unter der Achse oder auf ihr
[x₁; x₂]
Bei a < 0 ist es umgekehrt: Die positiven Werte liegen zwischen den Nullstellen.
Häufige Fehler
Lösen wie bei einer Gleichung. x² < 9 bedeutet nicht x < 3. Die Lösung ist x ∈ (−3; 3).
Vergessen, das Zeichen umzudrehen, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert.
Falsche Klammern. Bei < und > gehören die Nullstellen nicht dazu (runde Klammer), bei ≤ und ≥ gehören sie dazu (eckige Klammer). Bei ∞ ist die Klammer immer rund.
„Keine Nullstellen = keine Lösung.“ Nicht immer! x² + 1 > 0 gilt für alle x.
Kurz gesagt
Finde die Nullstellen (Faktorisieren, Formel oder Scheitelpunktform).
Skizziere die Parabel: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten geöffnet.
„> 0“ = über der x-Achse, „< 0“ = unter der x-Achse.
Bei ≤ und ≥ gehören die Nullstellen zur Lösung.
Probier es selbst
x² − 5x + 4 ≤ 0
x² − 9 > 0
−x² + 4x − 3 ≥ 0
x² + x + 1 < 0
Lösungen:
Nullstellen 1 und 4, a > 0, zwischen den Nullstellen einschließlich: x ∈ [1; 4].
Nullstellen −3 und 3, außerhalb davon: x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; ∞).
Nullstellen 1 und 3, a < 0, über der Achse liegt die Parabel zwischen den Nullstellen: x ∈ [1; 3].
D = 1 − 4 < 0, die Parabel liegt ganz über der Achse: keine Lösung, ∅.
