Gerade und ungerade Funktionen

Falte ein Blatt Papier in der Mitte, tropfe Tinte darauf und klappe es wieder auf. Es entsteht ein Bild, dessen linke Hälfte das Spiegelbild der rechten ist. Manche Funktionsgraphen sehen genau so aus — sie sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Solche Funktionen nennt man gerade. Andere Graphen decken sich nach einer halben Drehung um den Punkt (0 | 0) mit sich selbst. Das sind ungerade Funktionen.

Inhalt

Gerade Funktionen

Nehmen wir f(x) = x². Setzen wir 3 und −3 ein:

  • f(3) = 3² = 9,
  • f(−3) = (−3)² = 9.

Für entgegengesetzte Zahlen kommt derselbe Wert heraus. Das gilt für jedes x, denn das Quadrieren „verschluckt“ das Vorzeichen.

Eine Funktion f ist gerade, wenn für jedes x aus der Definitionsmenge gilt:

f(−x) = f(x) — man liest „f von minus x ist gleich f von x“.

Parabel, achsensymmetrisch zur y-Achse; die Punkte (−3 | 2,5) und (3 | 2,5) sowie (−2 | 0) und (2 | 0) sind Spiegelbilder

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Ein Punkt (a | b) auf dem Graphen hat immer einen „Zwilling“ (−a | b).

Gerade sind zum Beispiel x², x⁴, |x|, x² − 5, 3/(x² + 1).

Ungerade Funktionen

Nehmen wir f(x) = x³:

  • f(2) = 2³ = 8,
  • f(−2) = (−2)³ = −8.

Für entgegengesetzte Zahlen kommen entgegengesetzte Werte heraus.

Eine Funktion f ist ungerade, wenn für jedes x aus der Definitionsmenge gilt:

f(−x) = −f(x) — man liest „f von minus x ist gleich minus f von x“.

Graph in Form eines liegenden S, punktsymmetrisch zum Ursprung; die Punkte (3 | 3,75) und (−3 | −3,75) sind symmetrisch

Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0 | 0). Ein Punkt (a | b) hat den „Zwilling“ (−a | −b).

Ungerade sind zum Beispiel x, x³, x⁵, 1/x, x³ − 4x.

💡 Die Namen sind kein Zufall: x² und x⁴ haben einen geraden Exponenten und sind gerade, x und x³ haben einen ungeraden Exponenten und sind ungerade.

So prüfst du es durch Rechnen

Das Vorgehen hat drei Schritte:

  1. Prüfe, ob die Definitionsmenge symmetrisch zu null ist (mit jedem x enthält sie auch −x).
  2. Setze im Funktionsterm −x statt x ein und vereinfache.
  3. Vergleiche das Ergebnis mit f(x) und mit −f(x).

Beispiel 1

f(x) = x⁴ − 3x².

  1. Die Definitionsmenge ist ℝ, sie ist symmetrisch.
  2. f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x².
  3. Es kommt der ursprüngliche Term heraus: f(−x) = f(x). Die Funktion ist gerade.

Beispiel 2

f(x) = x³ − 5x.

  1. Die Definitionsmenge ist ℝ.
  2. f(−x) = (−x)³ − 5(−x) = −x³ + 5x.
  3. Das ist −(x³ − 5x) = −f(x). Die Funktion ist ungerade.

Beispiel 3

f(x) = .

  1. Der Nenner x² + 1 ist nie null, die Definitionsmenge ist ℝ.
  2. f(−x) = .
  3. Das ist −f(x). Die Funktion ist ungerade.

Weder gerade noch ungerade

Die meisten Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

Beispiel 4

f(x) = x² + x.

  • f(2) = 4 + 2 = 6,
  • f(−2) = 4 − 2 = 2.

Der Wert 2 ist weder gleich 6 (also nicht gerade) noch gleich −6 (also nicht ungerade). Zum Widerlegen reicht ein einziges solches Beispiel.

💡 Typisches Kennzeichen: Der Term mischt gerade und ungerade Potenzen (x² + x), oder der Graph ist zur Seite verschoben, zum Beispiel |x − 2| oder (x − 1)².

Achtung bei der Definitionsmenge

Die Funktion f(x) = x² für x ∈ [−2; 3] ist nicht gerade. Die Zahl 3 gehört zur Definitionsmenge, aber −3 nicht. Wir haben nichts zum Vergleichen, deshalb kann f(−3) = f(3) nicht gelten.

Ist die Definitionsmenge nicht symmetrisch zu null, ist die Funktion weder gerade noch ungerade — egal, wie der Term aussieht.

Häufige Fehler

  • (−x)² = −x². Nein! (−x)² = x², das Minus verschwindet beim Quadrieren. Aber (−x)³ = −x³.
  • Nur mit einer Zahl prüfen. Die Symmetrie muss für alle x gelten. Ein Beispiel reicht nur, um zu zeigen, dass eine Funktion nicht gerade (ungerade) ist.
  • Die Konstante vergessen. x³ + 2 ist nicht ungerade: f(−x) = −x³ + 2, aber −f(x) = −x³ − 2.
  • Die Definitionsmenge übersehen. Nicht symmetrische Definitionsmenge = weder gerade noch ungerade.

Kurz gesagt

  • Gerade: f(−x) = f(x), Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Ungerade: f(−x) = −f(x), Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (0 | 0).
  • Prüfe zuerst, ob die Definitionsmenge symmetrisch zu null ist.
  • Setze −x ein, vereinfache und vergleiche mit f(x) und −f(x).

Probier es selbst

Entscheide, ob die Funktion gerade, ungerade oder keins von beiden ist:

  1. f(x) = 2x⁶ − x²
  2. f(x) = x⁵ + x
  3. f(x) = x³ + 1
  4. f(x) = |x| − 4
  5. f(x) = x² für x ∈ [−3; 3]
Lösungen: 1. gerade, 2. ungerade, 3. keins von beiden, 4. gerade, 5. gerade (die Definitionsmenge ist symmetrisch).

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