Quadratische Funktionen und ihre Graphen — Scheitelpunkt, quadratische Ergänzung
Wenn du einen Ball schräg nach oben wirfst, fliegt er in einem Bogen: Zuerst steigt er, im höchsten Punkt „bleibt er kurz stehen“ und dann fällt er. Dieser Bogen ist eine Parabel — der Graph einer quadratischen Funktion. Dieselbe Form hat der Wasserstrahl eines Springbrunnens und der Querschnitt einer Satellitenschüssel.
Eine quadratische Funktion hat den Funktionsterm
y = ax² + bx + c, wobei a ≠ 0 (a ist ungleich null).
Die Zahlen a, b, c heißen Koeffizienten. Zum Beispiel hat y = 2x² − 4x + 1 die Werte a = 2, b = −4, c = 1.
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt.
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet, der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt.
Je größer |a| ist, desto schmaler ist die Parabel. y = 2x² ist schmaler als y = x², y = ½x² ist breiter.
💡 Eselsbrücke: Geh vom Scheitelpunkt 1 nach rechts. Der Graph steigt dann genau um a (bei y = 2x² um 2, bei y = −x² fällt er um 1).
Die Scheitelpunktform
Der wichtigste Punkt einer Parabel ist der Scheitelpunkt S. Hat der Funktionsterm die Form
y = a(x − m)² + n,
dann ist der Scheitelpunkt S(m | n). Die ganze Parabel y = ax² ist nur verschoben: um m nach rechts und um n nach oben.
y = (x − 3)² − 4 hat den Scheitelpunkt S(3 | −4).
y = (x + 2)² + 1 = (x − (−2))² + 1 hat den Scheitelpunkt S(−2 | 1).
⚠️ Achte auf das Vorzeichen: x − 3 verschiebt nach rechts, x + 2 verschiebt nach links.
Die senkrechte Gerade x = m durch den Scheitelpunkt ist die Symmetrieachse der Parabel. Linke und rechte Hälfte sind an ihr gespiegelt.
Quadratische Ergänzung
Meist bekommen wir den Funktionsterm in der Form ax² + bx + c. In die Scheitelpunktform bringen wir ihn mit der quadratischen Ergänzung. Wir nutzen die binomische Formel (x + d)² = x² + 2dx + d².
Beispiel 1
y = x² − 6x + 5. Finde den Scheitelpunkt.
Vor dem x steht −6. Die Hälfte ist −3, also verwenden wir (x − 3)² = x² − 6x + 9.
Im Term steht +5, nicht +9. Wir formen um: x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5.
y = (x − 3)² − 4.
Scheitelpunkt S(3 | −4), Symmetrieachse x = 3.
Beispiel 2 (a ≠ 1)
y = 2x² + 8x + 3.
Wir klammern die 2 aus den ersten beiden Summanden aus: y = 2(x² + 4x) + 3.
In der Klammer ergänzen wir: x² + 4x = (x + 2)² − 4.
💡 Schnelle Probe: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer m=−2ab. Für Beispiel 2: −8/4 = −2. ✓ Die y-Koordinate bekommst du durch Einsetzen: 2 · 4 − 16 + 3 = −5. ✓
Schnittpunkte mit den Achsen
Mit der y-Achse: Wir setzen x = 0 ein. Es kommt y = c heraus. Der Graph von y = x² − 6x + 5 schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 5).
Mit der x-Achse (Nullstellen): Wir suchen die x, für die y = 0 ist, lösen also die Gleichung ax² + bx + c = 0. Mit der Scheitelpunktform geht das schnell:
Beispiel 3
(x − 3)² − 4 = 0
(x − 3)² = 4.
x − 3 = 2 oder x − 3 = −2.
x₁ = 5, x₂ = 1. Die Schnittpunkte sind (1 | 0) und (5 | 0).
Der Graph muss die x-Achse nicht schneiden. Zum Beispiel y = (x − 1)² + 3: Der Scheitelpunkt (1 | 3) liegt über der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, also erreicht sie die x-Achse nie. Die Gleichung (x − 1)² = −3 hat keine Lösung.
💡 Die Nullstellen liegen symmetrisch zur Symmetrieachse der Parabel. Bei Beispiel 3: 1 und 5 sind gleich weit von 3 entfernt.
Wie man einem Graphen den Funktionsterm zuordnet
Scheitelpunkt (m | n) → der Term hat die Form a(x − m)² + n.
Öffnung nach oben oder unten → Vorzeichen von a.
Schritt vom Scheitelpunkt 1 nach rechts → um wie viel der Graph steigt, das ist a.
Schnittpunkt mit der y-Achse → die Zahl c in der ausmultiplizierten Form.
Beispiel 4
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt (−1 | 2), ist nach unten geöffnet und fällt vom Scheitelpunkt 1 nach rechts um 2. Funktionsterm: y = −2(x + 1)² + 2. Ausmultipliziert y = −2x² − 4x, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0 | 0).
Häufige Fehler
Falsches Vorzeichen beim Scheitelpunkt. y = (x + 4)² hat den Scheitelpunkt bei x = −4, nicht bei 4.
Das a bei der quadratischen Ergänzung vergessen. In Beispiel 2 muss −4 mit 2 multipliziert werden: 2 · (−4) = −8.
Schnittpunkt mit der y-Achse und Scheitelpunkt verwechseln. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0 | c), der Scheitelpunkt ist (m | n).
„Jede Parabel schneidet die x-Achse.“ Nein, wenn der Scheitelpunkt über der Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist (oder unter der Achse und nach unten), gibt es keine Nullstellen.
Kurz gesagt
y = ax² + bx + c, a ≠ 0, der Graph ist eine Parabel.
a > 0 nach oben geöffnet, a < 0 nach unten, größeres |a| = schmalere Parabel.
y = a(x − m)² + n hat den Scheitelpunkt S(m | n) und die Symmetrieachse x = m.
