Du wohnst an einer Bushaltestelle und der Bus ist 300 Meter von dir entfernt. Egal ob 300 Meter links oder rechts — die Entfernung ist dieselbe. Genau das misst der Betrag: wie weit eine Zahl von null entfernt ist, egal in welche Richtung.
|x| liest man „Betrag von x“. |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.
Genauer: |x| = x, wenn x ≥ 0 ist, und |x| = −x, wenn x < 0 ist. Eine negative Zahl macht der Betrag also positiv.
Die Punkte liegen auf zwei Halbgeraden, die sich im Punkt (0 | 0) treffen. Der Graph sieht aus wie der Buchstabe V. Der Punkt (0 | 0) ist seine Spitze (der Scheitelpunkt).
Eigenschaften: Die Funktion ist gerade (der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse), auf (−∞; 0] fällt sie, auf [0; ∞) steigt sie, sie hat das Minimum 0 und ist nicht injektiv.
Verschobener Graph
Der Graph der Funktion
y = |x − a| + b
ist dasselbe V, nur so verschoben, dass die Spitze im Punkt (a | b) liegt.
y = |x − 2| + 1: Spitze (2 | 1) — Verschiebung um 2 nach rechts und um 1 nach oben.
y = |x + 3|: Spitze (−3 | 0) — Verschiebung um 3 nach links.
y = |x| − 4: Spitze (0 | −4) — Verschiebung um 4 nach unten.
⚠️ Dieselbe Falle wie bei der Parabel: Ein Minus im Betrag verschiebt nach rechts, ein Plus nach links.
Beispiel 1
Ein V-förmiger Graph hat die Spitze (−1 | −2). Wie lautet sein Funktionsterm (wenn er genauso „steil“ ist wie y = |x|)?
Spitze (a | b) = (−1 | −2), also y = |x − (−1)| + (−2) = |x + 1| − 2.
Betragsgleichungen
Die Gleichung |x − 3| = 5 fragt: „Welche Zahlen sind von der 3 genau 5 entfernt?“ Auf dem Zahlenstrahl sind es zwei: 3 + 5 = 8 und 3 − 5 = −2.
Algebraisch teilen wir die Gleichung |Term| = c (für c > 0) in zwei Gleichungen auf:
Term = c oder Term = −c.
Beispiel 2
x + 4
x + 4 = 6 → x = 2.
x + 4 = −6 → x = −10.
Lösung: x ∈ {−10; 2}.
Probe: |2 + 4| = 6 ✓, |−10 + 4| = |−6| = 6 ✓.
Sonderfälle
c = 0: |x − 5| = 0 hat die einzige Lösung x = 5. Nur die Null hat den Betrag null.
c < 0: |x + 1| = −3 hat keine Lösung. Ein Betrag ist nie negativ.
Wenn vor dem x eine Zahl steht
Beispiel 3
2x − 6
2x − 6 = 4 → 2x = 10 → x = 5.
2x − 6 = −4 → 2x = 2 → x = 1.
Lösung: x ∈ {1; 5}.
💡 Beachte: Die Lösungen liegen symmetrisch um die Zahl 3, an der der Term 2x − 6 null ist.
Beispiel 4
3x + 6
Häufige Fehler
Die zweite Lösung vergessen. |x| = 4 hat die Lösungen 4 und −4.
„Der Betrag löscht nur das Minus im Inneren.“ |x − 3| ist nicht x + 3! Der Betrag gilt für den ganzen Term.
Die Gleichung |Term| = negative Zahl lösen. Eine solche Lösung gibt es nicht, du musst nichts rechnen.
Falsche Verschiebungsrichtung. |x − 2| hat die Spitze bei x = 2, nicht bei −2.
Kurz gesagt
|x| ist der Abstand von x zu null, er ist nie negativ.
Der Graph von y = |x − a| + b ist ein V mit der Spitze (a | b).
|Term| = c, c > 0: Term = c oder Term = −c (zwei Lösungen).
