Im Urlaub in den USA rechnest du Preise um: Von Euro in US-Dollar multiplizierst du mit dem Wechselkurs, von US-Dollar in Euro teilst du durch den Wechselkurs. Die zweite Umrechnung macht genau das Gegenteil der ersten. Eine solche „Rückweg“-Funktion nennt man Umkehrfunktion.
Wenn die Funktion f aus der Zahl 3 die Zahl 7 macht, macht die Umkehrfunktion f⁻¹ aus der 7 wieder die 3.
f⁻¹ liest man „f hoch minus eins“ oder „Umkehrfunktion von f“. Achtung, das ist keine Potenz: f⁻¹(x) ist nicht 1/f(x).
Die Umkehrfunktion muss ein Ergebnis eindeutig „zurückgeben“ können. Bei y = x² geht das nicht: Den Wert 9 bekommen wir aus 3 und aus −3. Wenn wir fragen „Woraus ist die 9 entstanden?“, ist die Antwort nicht eindeutig.
Eine Funktion ist injektiv (umkehrbar), wenn zwei verschiedene Zahlen x nie denselben Wert y liefern. Nur eine injektive Funktion hat eine Umkehrfunktion.
Injektiv sind zum Beispiel y = 2x + 1, y = x³, y = 1/x, y = √x.
Nicht injektiv sind y = x², y = |x|, y = 5 (eine Konstante).
💡 Am Graphen: Wenn irgendeine waagerechte Gerade den Graphen mindestens zweimal schneidet, ist die Funktion nicht injektiv. Mehr dazu im Artikel Eigenschaften von Funktionen.
💡 Eine Funktion, die nicht injektiv ist, können wir „einschränken“. y = x² für x ≥ 0 ist schon injektiv — ihre Umkehrfunktion ist y = √x.
Wie man die Umkehrfunktion berechnet
Vorgehen:
Schreibe y = f(x).
Vertausche x und y.
Löse nach y auf.
Beispiel 1
f(x) = 2x + 1.
y = 2x + 1.
Vertauschen: x = 2y + 1.
Auflösen: 2y = x − 1, also y = (x − 1)/2.
Ergebnis: f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
Probe: f(3) = 7 und f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. ✓
Beispiel 2
f(x) = x−34−1.
Vertauschen: x = y−34−1.
x + 1 = y−34, also y − 3 = x+14.
y = x+14+3.
Ergebnis: f⁻¹(x) = 4/(x + 1) + 3. Die Asymptoten haben sich vertauscht: f hat x = 3 und y = −1, f⁻¹ hat x = −1 und y = 3.
Der Graph der Umkehrfunktion
Liegt der Punkt (a | b) auf dem Graphen von f, dann schickt f die Zahl a auf b. Die Umkehrfunktion schickt b auf a, deshalb liegt der Punkt (b | a) auf dem Graphen von f⁻¹. Die Koordinaten werden einfach vertauscht.
Das Vertauschen der Koordinaten ist eine Spiegelung an der Geraden y = x. Deshalb gilt:
Die Graphen von f und f⁻¹ sind symmetrisch zur Geraden y = x.
Auf dem Bild: Der Punkt (1 | 3) auf dem Graphen von f hat das Spiegelbild (3 | 1) auf dem Graphen von f⁻¹.
Definitionsmenge und Wertemenge
Beim Vertauschen von x und y vertauschen sich auch die Mengen:
Definitionsmenge von f⁻¹ = Wertemenge von f,
Wertemenge von f⁻¹ = Definitionsmenge von f.
Bei f(x) = 4/(x − 3) − 1 ist D(f) = ℝ ∖ {3} und W(f) = ℝ ∖ {−1}. Für die Umkehrfunktion gilt D(f⁻¹) = ℝ ∖ {−1} und W(f⁻¹) = ℝ ∖ {3}.
Häufige Fehler
f⁻¹(x) = 1/f(x). Nein! Die hochgestellte Minus-Eins bedeutet hier nicht den Kehrwert. Bei f(x) = 2x + 1 ist 1/f(x) = 1/(2x + 1), aber f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
Umgekehrte Rechenschritte in falscher Reihenfolge. f(x) = 2x + 1 multipliziert zuerst mit 2 und addiert dann 1. Die Umkehrfunktion muss zuerst 1 subtrahieren und erst dann durch 2 teilen: (x − 1)/2, nicht x/2 − 1.
Umkehrfunktion einer nicht injektiven Funktion. y = x² hat auf ganz ℝ keine Umkehrfunktion.
Spiegelung an der y-Achse. Die Graphen von f und f⁻¹ sind symmetrisch zur Geraden y = x, nicht zu einer Achse.
Kurz gesagt
Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht das Ergebnis von f rückgängig: Wenn f(a) = b ist, dann ist f⁻¹(b) = a.
Sie existiert nur für injektive Funktionen.
Berechnung: y = f(x), x und y vertauschen, nach y auflösen.
Der Graph von f⁻¹ ist das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y = x.
D(f⁻¹) = W(f) und W(f⁻¹) = D(f).
Probier es selbst
Finde die Umkehrfunktion von f(x) = 3x − 6.
Finde die Umkehrfunktion von f(x) = 2/(x + 1).
Der Punkt (−2 | 5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f⁻¹?
