Eigenschaften von Funktionen: Monotonie, Beschränktheit, Extremwerte und Injektivität
Stell dir vor, du schreibst im Sommer jeden Tag um 14:00 Uhr die Temperatur draußen auf. Am Graphen siehst du dann sofort, wann es wärmer wurde, wann es abkühlte, wie hoch die höchste Temperatur war und ob es jemals unter null ging. Genau diese Fragen stellen wir bei jeder Funktion. Sie heißen Eigenschaften der Funktion und lassen sich auch ohne Rechnen am Graphen ablesen.
Im ganzen Artikel lesen wir den Graphen von links nach rechts, genauso wie einen Text im Buch.
Eine Funktion ist auf einem Intervall monoton steigend, wenn ihr Graph dort von links nach rechts immer nach oben geht. Ein größeres x liefert ein größeres y.
Eine Funktion ist auf einem Intervall monoton fallend, wenn ihr Graph von links nach rechts immer nach unten geht. Ein größeres x liefert ein kleineres y.
Auf dem Bild ist die Funktion:
steigend auf dem Intervall [−5; −2] (der orange Teil links),
fallend auf dem Intervall [−2; 2] (der schwarze Teil),
wieder steigend auf dem Intervall [2; 5].
Die Schreibweise [−2; 2] liest man „abgeschlossenes Intervall von minus zwei bis zwei“. Dazu gehören alle Zahlen von −2 bis 2, die Randzahlen eingeschlossen.
Mathematisch: Eine Funktion f ist auf einem Intervall I streng monoton steigend, wenn für je zwei Zahlen x₁ < x₂ aus I gilt: f(x₁) < f(x₂). In Worten: „Wenn ich nach rechts gehe, wird der Wert größer.“
Ist der Graph auf einem Intervall eine waagerechte Strecke, ist die Funktion dort konstant — der Wert ändert sich nicht. Und wenn der Graph auf einem Intervall zuerst steigt und dann fällt, ist die Funktion dort weder steigend noch fallend.
💡 Steigende und fallende Funktionen nennt man zusammen monoton.
Beschränkte Funktionen
Eine Funktion ist nach oben beschränkt, wenn ihr Graph nie über eine bestimmte waagerechte Gerade steigt. Sie ist nach unten beschränkt, wenn ihr Graph nie unter eine bestimmte waagerechte Gerade fällt. Gilt beides, sagt man einfach, sie ist beschränkt.
Der Graph auf dem Bild bleibt im Streifen zwischen den Geraden y = −1 und y = 3. Die Funktion ist nach oben und nach unten beschränkt.
Bei einem Graphen mit Pfeilen an den Enden aufgepasst: Ein Pfeil sagt, dass der Graph in dieselbe Richtung unendlich weitergeht.
Ein Pfeil nach oben bedeutet: Die Funktion ist nicht nach oben beschränkt.
Ein Pfeil nach unten bedeutet: Die Funktion ist nicht nach unten beschränkt.
Waagerechte Pfeile ändern nichts an der Beschränktheit.
Beispiel 1
Ist die Funktion y = x² beschränkt?
Ein Quadrat ist nie negativ, also gilt x² ≥ 0 (x² ist größer oder gleich null). Der Graph fällt nie unter die x-Achse — die Funktion ist nach unten beschränkt.
Für x = 10 ist y = 100, für x = 1000 ist y = 1 000 000. Die Werte wachsen ohne Grenze — die Funktion ist nicht nach oben beschränkt.
Maximum und Minimum
Das Maximum einer Funktion ist ihr größter Wert — die y-Koordinate des höchsten Punktes des Graphen. Das Minimum ist der kleinste Wert — die y-Koordinate des tiefsten Punktes.
Auf dem Bild oben ist der höchste Punkt (0 | 3). Die Funktion hat das Maximum 3 an der Stelle x = 0.
Ein Minimum hat diese Funktion nicht. Der Graph nähert sich zwar immer mehr der Geraden y = −1, erreicht sie aber nie. Jeder Wert ist ein kleines Stück größer als −1, also ist keiner der kleinste.
⚠️ Eine Funktion, die nicht nach oben beschränkt ist, kann kein Maximum haben. Es gibt immer einen noch größeren Wert.
Beispiel 2
Die Funktion y = −x² + 4. Hat sie ein Maximum oder ein Minimum?
−x² ist immer kleiner oder gleich null, also gilt y ≤ 0 + 4 = 4.
Den Wert 4 erreicht die Funktion für x = 0. Das Maximum ist 4.
Für große x werden die Werte beliebig klein (für x = 10 ist y = −96). Ein Minimum hat die Funktion nicht.
Injektive Funktionen
Eine Funktion ist injektiv (umkehrbar), wenn sie jeden Wert y höchstens einmal annimmt. Zwei verschiedene Zahlen x liefern nie denselben Wert.
Ein Beispiel aus dem Alltag: Die Zuordnung „Schüler → Nummer in der Klassenliste“ ist injektiv, jede Nummer gehört nur einem Schüler. Die Zuordnung „Schüler → Geburtsmonat“ ist nicht injektiv, in einem Monat haben mehrere Schüler Geburtstag.
Die Funktion y = x² − 2 ist nicht injektiv: Für x = −2 und für x = 2 erhalten wir y = 2.
Die Funktion y = x³/4 ist injektiv. Der Graph steigt immer, also erreicht er jede Höhe nur einmal.
💡 Test mit der waagerechten Geraden: Wenn irgendeine waagerechte Gerade den Graphen mindestens zweimal schneidet, ist die Funktion nicht injektiv.
💡 Jede Funktion, die auf der ganzen Definitionsmenge steigt (oder auf der ganzen Definitionsmenge fällt), ist injektiv. Injektive Funktionen sind wichtig, weil nur sie eine Umkehrfunktion haben.
Häufige Fehler
Den Graphen von rechts nach links lesen. „Steigend“ heißt immer: von links nach rechts nach oben.
Maximum und Maximalstelle verwechseln. Das Maximum ist der y-Wert (zum Beispiel 3), nicht das x, an dem die Funktion ihn erreicht.
Pfeile übersehen. Ein Pfeil nach oben bedeutet, dass es kein Maximum gibt, auch wenn auf dem Bild ein „höchster“ Punkt zu sehen ist.
„Sie hat ein Minimum, weil sie sich −1 nähert.“ Sich annähern reicht nicht, die Funktion muss den Wert wirklich erreichen.
Injektiv = steigend. Jede steigende Funktion ist injektiv, aber zum Beispiel y = 1/x ist injektiv und nicht steigend.
Kurz gesagt
Steigend: von links nach rechts nach oben. Fallend: von links nach rechts nach unten.
Nach oben beschränkt: Der Graph steigt nie über eine bestimmte Gerade. Nach unten beschränkt: Er fällt nie unter eine bestimmte Gerade.
Maximum / Minimum: der größte / kleinste y-Wert, den die Funktion wirklich erreicht.
Injektiv: jedes y höchstens einmal. Test mit der waagerechten Geraden.
Probier es selbst
Bestimme für die Funktion y = |x| (ein V-förmiger Graph mit der Spitze im Punkt (0 | 0)):
Auf welchem Intervall ist sie fallend und auf welchem steigend?
Ist sie nach unten beschränkt? Ist sie nach oben beschränkt?
Hat sie ein Minimum? Hat sie ein Maximum?
Ist sie injektiv?
Lösungen:
Fallend auf (−∞; 0], steigend auf [0; ∞).
Nach unten ja (y ≥ 0), nach oben nein.
Das Minimum ist 0 (an der Stelle x = 0), ein Maximum gibt es nicht.
