Lineare Funktionen — Funktionsterm, Steigung m und y-Achsenabschnitt b

Lineare Funktionen — Funktionsterm, Steigung m und y-Achsenabschnitt b

Ein Taxi kostet 3 € Grundgebühr und 1 € pro Kilometer. Für 5 km zahlst du 3 + 5 · 1 = 8 €, für 10 km 13 €. Der Preis y hängt von der Strecke x nach der Vorschrift y = x + 3 ab. Jeder weitere Kilometer kostet gleich viel — genau das ist eine lineare Funktion.

Eine lineare Funktion hat den Funktionsterm

y = mx + b, wobei m und b reelle Zahlen sind.

Ihr Graph ist eine Gerade. Zum Beispiel hat y = 2x − 3 die Werte m = 2 und b = −3.

Inhalt

Was die Zahl b bedeutet

Setzen wir x = 0 ein: y = m · 0 + b = b. Der Graph geht also durch den Punkt (0 | b) — dort schneidet er die y-Achse. Deshalb heißt b y-Achsenabschnitt.

  • y = 2x + 1 schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 1).
  • y = −x + 4 schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 4).
  • y = 3x schneidet die y-Achse im Punkt (0 | 0) — die Gerade geht durch den Ursprung.

Beim Taxi ist b = 3: Das ist die Grundgebühr, die du zahlst, auch wenn du noch keinen Meter gefahren bist (x = 0).

Was die Zahl m bedeutet

Die Zahl m heißt Steigung. Sie sagt, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 größer wird.

Die Gerade y = 2x + 1: vom Punkt (0 | 1) um 1 nach rechts und um 2 nach oben zum Punkt (1 | 3)

Bei y = 2x + 1 starten wir im Punkt (0 | 1). Wir gehen 1 nach rechts und 2 nach oben — und sind im Punkt (1 | 3). Dieses Steigungsdreieck passt überall auf der Geraden: x = 2 ergibt y = 5, x = 3 ergibt y = 7.

Ist m ein Bruch, nimmt man ein größeres Dreieck. Bei y = ⅔x − 2 geht man am besten 3 nach rechts: y ändert sich um ⅔ · 3 = 2. Vom Punkt (0 | −2) kommt man so zum Punkt (3 | 0).

💡 Die Steigung liest du an zwei beliebigen Punkten der Geraden ab: „wie viel nach oben“ geteilt durch „wie viel nach rechts“.

Steigend, fallend, konstant

Drei Geraden durch den Punkt (0 | 1): steigend y = x + 1, fallend y = −2x + 1 und waagerecht y = 1

Alle drei Geraden im Bild haben b = 1, sie unterscheiden sich in der Steigung:

  • m > 0: Die Funktion ist steigend (y = x + 1). Von links nach rechts geht der Graph nach oben.
  • m < 0: Die Funktion ist fallend (y = −2x + 1). Von links nach rechts geht der Graph nach unten.
  • m = 0: Die Funktion ist konstant (y = 1). Der Graph ist eine waagerechte Gerade.

Je größer |m| ist, desto steiler ist die Gerade. y = −2x + 1 ist steiler als y = x + 1.

Funktionsterm aus zwei Punkten

Zwei Punkte legen eine Gerade fest. Aus ihnen berechnen wir m und b.

Beispiel 1

Die Gerade geht durch A(1 | 1) und B(3 | 5). Bestimme den Funktionsterm.

  1. Von A nach B geht x um 3 − 1 = 2 nach rechts und y um 5 − 1 = 4 nach oben.
  2. Steigung: m = 4 : 2 = 2.
  3. Punkt A in y = 2x + b einsetzen: 1 = 2 · 1 + b, also b = −1.
  4. Funktionsterm: y = 2x − 1.

Probe mit B: 2 · 3 − 1 = 5 ✓.

Allgemein für die Punkte (x₁ | y₁) und (x₂ | y₂):

Beispiel 2

A(−2 | 7), B(2 | −1).

  1. m = (−1 − 7) : (2 − (−2)) = −8 : 4 = −2.
  2. b = 7 − (−2) · (−2) = 7 − 4 = 3.
  3. Funktionsterm: y = −2x + 3. Die Funktion ist fallend, weil m < 0.

Probe mit B: −2 · 2 + 3 = −1 ✓.

Schnittpunkte mit den Achsen

Die Gerade y = ⅔x − 2 mit den Schnittpunkten (3 | 0) und (0 | −2)
  • Mit der y-Achse: x = 0 einsetzen. Es ergibt sich y = b, der Punkt ist (0 | b).
  • Mit der x-Achse (Nullstelle): Wir suchen x mit y = 0, also lösen wir mx + b = 0.

Beispiel 3

y = ⅔x − 2.

  1. y-Achse: x = 0 ergibt y = −2. Schnittpunkt (0 | −2).
  2. x-Achse: ⅔x − 2 = 0, also ⅔x = 2 und x = 2 · 3/2 = 3. Schnittpunkt (3 | 0).
  3. m = ⅔ > 0, die Funktion ist steigend.

⚠️ Die konstante Funktion y = b (m = 0) schneidet die x-Achse nicht, wenn b ≠ 0. Die Gleichung 0 · x + b = 0 hat dann keine Lösung.

Häufige Fehler

  • m und b vertauscht. Bei y = 3x − 5 ist die Steigung 3, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0 | −5), nicht (0 | 3).
  • Falsches Vorzeichen beim Subtrahieren. Bei (−2 | 7) und (2 | −1) ist die Differenz der x-Werte 2 − (−2) = 4, nicht 0.
  • Umgekehrter Quotient. Die Steigung ist „Änderung von y durch Änderung von x“, nicht umgekehrt.
  • Steigend wegen b. Ob die Funktion steigt, entscheidet nur m. y = −x + 100 ist fallend, auch wenn b groß ist.

Kurz gesagt

  • y = mx + b, der Graph ist eine Gerade.
  • b: Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0 | b).
  • m: um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 wächst. m > 0 steigend, m < 0 fallend, m = 0 konstant.
  • Aus zwei Punkten: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), dann b = y₁ − m · x₁.
  • Nullstelle: Lösung der Gleichung mx + b = 0.

Probier es selbst

  1. Eine Gerade geht durch (0 | 4) und (2 | 0). Bestimme ihren Funktionsterm.
  2. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von y = −3x + 6 mit den Achsen. Ist die Funktion steigend oder fallend?
  3. Ist die Funktion y = −½x + 1 steigend oder fallend?
Lösungen:
  1. m = (0 − 4) : (2 − 0) = −2, b = 4 (Punkt (0 | 4)). Funktionsterm y = −2x + 4.
  2. y-Achse: (0 | 6). x-Achse: −3x + 6 = 0, x = 2, Punkt (2 | 0). Fallend, weil m = −3 < 0.
  3. Fallend, weil m = −½ < 0.

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