Gebrochen-lineare Funktionen und Potenzfunktionen

Für einen Ausflug mietet ihr einen Bus, der 120 Euro kostet, und teilt den Preis gleichmäßig auf. Fahrt ihr zu viert, zahlt jeder 30 Euro. Zu acht nur 15 Euro. Je mehr Leute, desto weniger zahlt jeder, aber der Preis sinkt nie auf null. Das ist eine antiproportionale Zuordnung y = 120/x und ihr Graph ist eine Hyperbel.

Inhalt

Hyperbel und Asymptoten

Die Funktion y = k/x (k ≠ 0) ist für x = 0 nicht definiert — durch null kann man nicht teilen. Ihr Graph hat zwei Äste.

  • Für x nahe null ist k/x eine riesige Zahl: Der Graph „schießt“ entlang der y-Achse nach oben oder unten.
  • Für große x ist k/x fast null: Der Graph „schmiegt sich“ an die x-Achse.

Geraden, denen sich der Graph immer weiter nähert, die er aber nie erreicht, heißen Asymptoten. Bei y = k/x sind das die x-Achse und die y-Achse.

  • k > 0: Die Äste liegen im I. und III. Quadranten, die Funktion fällt auf jedem Ast.
  • k < 0: Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten, die Funktion steigt auf jedem Ast.

Verschobene Hyperbel

Gestrichelte Hyperbel y = 1/x und orange Hyperbel y = 3/(x − 2) + 1 mit den Asymptoten x = 2 und y = 1

Die Funktion

y =

hat dieselbe Hyperbel wie y = k/x, nur verschoben: um m nach rechts und um n nach oben. Die Asymptoten sind:

  • senkrecht x = m — dort ist der Nenner null,
  • waagerecht y = n — diesem Wert nähert sich y für große x.

Beispiel 1

y = .

  1. Der Nenner x − 2 ist null für x = 2. Senkrechte Asymptote x = 2.
  2. Der Bruch 3/(x − 2) ist für große x fast null, deshalb ist y ≈ 1. Waagerechte Asymptote y = 1.
  3. Definitionsmenge D = ℝ ∖ {2}, Wertemenge W = ℝ ∖ {1}.

⚠️ Vorzeichen: y = 5/(x + 3) − 2 hat die Asymptoten x = −3 und y = −2.

Die gebrochen-lineare Funktion in allgemeiner Form

Eine gebrochen-lineare Funktion ist der Quotient zweier linearer Terme:

y = , wobei c ≠ 0 und Zähler und Nenner keine Vielfachen voneinander sind.

Die Asymptoten finden wir, indem wir den Bruch teilen — wir bringen ihn auf die Form k/(x − m) + n.

Beispiel 2

y = .

  1. Wir schreiben den Zähler mithilfe des Nenners: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.
  2. y = .
  3. Asymptoten: x = 1 und y = 2.

💡 Abkürzung: Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner null ist. Die waagerechte ist der Quotient der Zahlen vor x: y = a/c. Hier 2/1 = 2.

Potenzfunktionen

Eine Potenzfunktion hat den Funktionsterm y = xⁿ. Ihre Eigenschaften hängen davon ab, ob der Exponent n gerade oder ungerade und ob er positiv oder negativ ist.

Graphen von y = x², y = x⁴ und y = x⁻²; alle sind achsensymmetrisch zur y-Achse Gerader positiver Exponent (x², x⁴, …): Graph wie eine Parabel, die Funktion ist gerade, D = ℝ, W = [0; ∞), sie hat das Minimum 0 und steigt auf [0; ∞). Gerader negativer Exponent (x⁻² = 1/x², x⁻⁴, …): Die Funktion ist gerade, D = ℝ ∖ {0}, W = (0; ∞), sie fällt auf (0; ∞) und hat kein Minimum. Graphen von y = x³ und y = x⁻¹; beide sind punktsymmetrisch zum Ursprung Ungerader positiver Exponent (x³, x⁵, …): Die Funktion ist ungerade, steigend auf ganz ℝ, D = W = ℝ. Ungerader negativer Exponent (x⁻¹ = 1/x, x⁻³, …): Hyperbel, die Funktion ist ungerade, D = W = ℝ ∖ {0}, sie fällt auf (0; ∞).

x⁻² liest man „x hoch minus zwei“ und es bedeutet 1/x².

💡 Alle Graphen von y = xⁿ gehen durch den Punkt (1 | 1). Für positive n gehen sie auch durch den Punkt (0 | 0).

Häufige Fehler

  • Falsches Vorzeichen der Asymptote. Bei 1/(x + 4) ist die senkrechte Asymptote x = −4.
  • Die waagerechte Asymptote vergessen. Bei y = k/(x − m) + n ist es y = n, nicht die x-Achse.
  • x⁻² = −x². Nein! x⁻² = 1/x², das ist immer positiv.
  • „Die Hyperbel ist fallend.“ Bei k > 0 fällt sie auf jedem Ast einzeln, aber auf der ganzen Definitionsmenge ist sie nicht fallend: −1 < 1, und trotzdem ist 1/(−1) < 1/1.

Kurz gesagt

  • y = k/(x − m) + n: Hyperbel, Asymptoten x = m und y = n.
  • (ax + b)/(cx + d): teilen, oder x = −d/c und y = a/c verwenden.
  • y = xⁿ: gerades n → gerade Funktion, ungerades n → ungerade Funktion.
  • Negatives n: Der Graph berührt die Achsen nicht, D enthält die Null nicht.

Probier es selbst

  1. Bestimme die Asymptoten der Funktion y = 4/(x + 1) − 3.
  2. Bestimme die Asymptoten der Funktion y = (x + 5)/(x − 2).
  3. Ist die Funktion y = x⁻³ gerade oder ungerade? Welche Definitionsmenge hat sie?
Lösungen:
  1. x = −1, y = −3.
  2. x + 5 = (x − 2) + 7, also y = 1 + 7/(x − 2): x = 2, y = 1.
  3. Ungerade (der Exponent −3 ist ungerade), D = ℝ ∖ {0}.

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