Gebrochen-lineare Funktionen und Potenzfunktionen
Bestimme die Gleichungen der Asymptoten des Funktionsgraphen.
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Der Graph der Funktion y = 1/x ist eine Hyperbel. Sie hat zwei Äste und zwei Geraden, denen sie sich immer weiter nähert, die sie aber nie berührt — die Asymptoten. Bei y = 3/(x − 2) + 1 ist die ganze Hyperbel um 2 nach rechts und um 1 nach oben verschoben, die Asymptoten sind also x = 2 und y = 1.
Was macht dieser Generator?
In der leichten Stufe liest du die Asymptoten am Term y = k/(x − m) + n ab. In der mittleren ordnest du dem Graphen einer Hyperbel den Term zu. In der schweren suchst du abwechselnd die Asymptoten einer Funktion der Form (ax + b)/(x − m) und entscheidest über Eigenschaften von Potenzfunktionen y = x², x³, x⁻¹, x⁻² …
So benutzt du ihn
1) Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner null ist: x − m = 0, also x = m. 2) Die waagerechte Asymptote ist die Zahl n, der sich y für große x nähert. 3) Die Form (ax + b)/(x − m) zuerst teilen: Du erhältst a + k/(x − m), die waagerechte Asymptote ist y = a. 4) Bei y = xⁿ entscheidet, ob n gerade oder ungerade und ob es positiv oder negativ ist.