Gleichwertige Brüche

Halbiere eine Pizza — das ist $\frac{1}{2}$ . Jetzt halbiere jede Hälfte noch einmal — du hast 4 Viertel, und 2 davon bedecken immer noch die halbe Pizza. Also:

\frac{1}{2} = \frac{2}{4}

Wir sagen, die beiden Brüche sind gleichwertig. Auf dem Papier sehen sie unterschiedlich aus, aber sie bedeuten genau dasselbe Maß.

Was Brüche gleichwertig macht

Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert (oder durch dieselbe Zahl geteilt) werden.

Starte mit $\frac{1}{2}$ . Multipliziere Zähler und Nenner mit 2:

\frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}

Mit 3 multiplizieren:

\frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}

Mit 4 multiplizieren:

\frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}

Alle sind dieselbe Hälfte. Du kannst beliebig viele bilden.

💡 Die Regel hat einen Teil: was du oben tust, musst du auch unten tun.

Anders herum — kürzen

Du kannst Zähler und Nenner auch durch dieselbe Zahl teilen, damit der Bruch einfacher aussieht.

\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}

Das nennt man kürzen. Der Wert ändert sich nicht — nur die Form.

Ein Bruch steht in vollständig gekürzter Form, wenn es keine ganze Zahl größer als 1 gibt, die sowohl Zähler als auch Nenner teilt.

$\frac{3}{4}$ ist vollständig gekürzt. Keine Zahl teilt 3 und 4 (außer 1).
$\frac{4}{8}$ ist nicht vollständig gekürzt. 4 und 8 sind beide durch 4 teilbar: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Gleichwertige Brüche an der Bruchwand

Eine Bruchwand hat Zeilen für $\frac{1}{1}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , … Jede Zeile ist in genau so viele gleiche Stücke geteilt.

Wenn du an der Wand entlangschaust, siehst du auf einen Blick:

$\frac{1}{2}$ liegt genau in einer Linie mit $\frac{2}{4}$ , mit $\frac{3}{6}$ , mit $\frac{4}{8}$ und mit $\frac{5}{10}$ .
$\frac{1}{3}$ liegt mit $\frac{2}{6}$ und $\frac{3}{9}$ in einer Linie.
$\frac{2}{3}$ liegt mit $\frac{4}{6}$ in einer Linie.
$\frac{3}{4}$ liegt mit $\frac{6}{8}$ und $\frac{9}{12}$ in einer Linie.

Wenn du eine Bruchwand auf Papier hast, halte sie bereit — gleichwertige Brüche sind damit viel leichter zu sehen.

Ein gelöstes Beispiel

Ist $\frac{6}{9}$ gleichwertig mit $\frac{2}{3}$ ?

Suche eine Zahl, die 6 → 2 und 9 → 3 teilt. Diese Zahl ist 3. Da das Teilen von Zähler und Nenner durch 3 aus $\frac{6}{9}$ den Bruch $\frac{2}{3}$ macht, sind die beiden Brüche gleichwertig.

Ergänze die fehlende Zahl: $\frac{3}{5} = \frac{?}{20}$

Der Nenner ging von 5 auf 20 — das ist eine Multiplikation mit 4. Multipliziere den Zähler ebenfalls mit 4: $3 \times 4 = 12$ . Antwort: $\frac{12}{20}$ .

Eine häufige Falle

Manche Kinder versuchen, dieselbe Zahl zu Zähler und Nenner zu addieren:

\frac{1}{2} = ? \frac{1 + 2}{2 + 2} = \frac{3}{4}

Aber $\frac{3}{4}$ ist nicht dasselbe wie $\frac{1}{2}$ — drei von vier Stücken sind deutlich mehr als eins von zwei. Die Regel für die Gleichwertigkeit lautet multiplizieren oder dividieren, niemals addieren oder subtrahieren.

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