Přelož papír napůl, kápni na něj inkoust a znovu ho rozlož. Vznikne obrázek, jehož levá polovina je zrcadlovým obrazem pravé. Některé grafy funkcí vypadají přesně tak — jsou souměrné podle osy y. Takovým funkcím říkáme sudé. Jiné grafy se po otočení o půl kruhu kolem bodu [0; 0] překryjí samy se sebou. To jsou funkce liché.
Pro opačná čísla vyšla stejná hodnota. To platí pro každé x, protože druhá mocnina znaménko „sní“.
Funkce f je sudá, jestliže pro každé x z definičního oboru platí:
f(−x) = f(x) — čteme „f od minus x se rovná f od x“.
![Parabola souměrná podle osy y; body [−3; 2,5] a [3; 2,5] i [−2; 0] a [2; 0] jsou zrcadlové](/images/high-school/elementary-functions/parity-even.png)
Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Bod [a; b] na grafu má vždy „dvojče“ [−a; b].
Sudé jsou například x², x⁴, |x|, x² − 5, 3/(x² + 1).
Lichá funkce
Vezměme f(x) = x³:
f(2) = 2³ = 8,
f(−2) = (−2)³ = −8.
Pro opačná čísla vyšly opačné hodnoty.
Funkce f je lichá, jestliže pro každé x z definičního oboru platí:
f(−x) = −f(x) — čteme „f od minus x se rovná minus f od x“.
![Graf ve tvaru ležatého S, souměrný podle počátku soustavy souřadnic; body [3; 3,75] a [−3; −3,75] jsou souměrné](/images/high-school/elementary-functions/parity-odd.png)
Graf liché funkce je souměrný podle počátku [0; 0]. Bod [a; b] má „dvojče“ [−a; −b].
Liché jsou například x, x³, x⁵, 1/x, x³ − 4x.
💡 Názvy nejsou náhodné: x² a x⁴ mají sudý exponent a jsou sudé, x a x³ mají lichý exponent a jsou liché.
Jak to ověřit výpočtem
Postup má tři kroky:
Zkontroluj, jestli je definiční obor souměrný podle nuly (s každým x obsahuje i −x).
Do předpisu dosaď −x místo x a uprav.
Porovnej výsledek s f(x) a s −f(x).
Řešený příklad 1
f(x) = x⁴ − 3x².
Definiční obor je ℝ, je souměrný.
f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x².
Vyšel původní předpis: f(−x) = f(x). Funkce je sudá.
Řešený příklad 2
f(x) = x³ − 5x.
Definiční obor je ℝ.
f(−x) = (−x)³ − 5(−x) = −x³ + 5x.
To je −(x³ − 5x) = −f(x). Funkce je lichá.
Řešený příklad 3
f(x) = x2+12x.
Jmenovatel x² + 1 není nikdy nula, definiční obor je ℝ.
f(−x) = (−x)2+12(−x)=x2+1−2x.
To je −f(x). Funkce je lichá.
Ani sudá, ani lichá
Většina funkcí není ani sudá, ani lichá.
Řešený příklad 4
f(x) = x² + x.
f(2) = 4 + 2 = 6,
f(−2) = 4 − 2 = 2.
Hodnota 2 se nerovná 6 (není sudá) ani −6 (není lichá). K vyvrácení stačí jeden takový příklad.
💡 Typický znak: předpis míchá sudé a liché mocniny (x² + x), nebo je graf posunutý do strany, například |x − 2| nebo (x − 1)².
Pozor na definiční obor
Funkce f(x) = x² pro x ∈ ⟨−2; 3⟩ není sudá. Číslo 3 do oboru patří, ale −3 ne. Nemáme s čím porovnat, proto rovnost f(−3) = f(3) nemůže platit.
Pokud definiční obor není souměrný podle nuly, funkce není ani sudá, ani lichá — bez ohledu na předpis.
Nejčastější chyby
(−x)² = −x². Ne! (−x)² = x², minus se umocněním ztratí. Ale (−x)³ = −x³.
Ověření jen pro jedno číslo. Sudost musí platit pro všechna x. Jeden příklad stačí jen k tomu, abychom ukázali, že funkce sudá (lichá) není.
Zapomenutá konstanta. x³ + 2 není lichá: f(−x) = −x³ + 2, ale −f(x) = −x³ − 2.
Přehlížený definiční obor. Nesouměrný obor = ani sudá, ani lichá.
Ve zkratce
Sudá: f(−x) = f(x), graf souměrný podle osy y.
Lichá: f(−x) = −f(x), graf souměrný podle bodu [0; 0].
Nejprve ověř, jestli je definiční obor souměrný podle nuly.
Dosaď −x, uprav a porovnej s f(x) a −f(x).
Zkus si sám
Rozhodni, jestli je funkce sudá, lichá, nebo ani jedno:
f(x) = 2x⁶ − x²
f(x) = x⁵ + x
f(x) = x³ + 1
f(x) = |x| − 4
f(x) = x² pro x ∈ ⟨−3; 3⟩
Řešení: 1. sudá, 2. lichá, 3. ani jedno, 4. sudá, 5. sudá (obor je souměrný).