Kvadratická funkce s absolutní hodnotou — grafy a počet řešení
V článku o funkcích s absolutní hodnotou jsme z přímky dostali graf ve tvaru V. Teď stejnou myšlenku použijeme na parabolu. Absolutní hodnota může stát na dvou místech a každé místo změní graf jinak:
y = |x² − 4x + 3| — absolutní hodnota celého předpisu,
y = x² − 4|x| + 3 — absolutní hodnota jen u x.
Ve všech příkladech budeme pracovat se stejnou parabolou g(x) = x² − 4x + 3. Doplněním na čtverec g(x) = (x − 2)² − 1: vrchol je [2; −1], osu x protíná v bodech [1; 0] a [3; 0], osu y v bodě [0; 3].
U y = |g(x)| nejdřív vypočítáme hodnotu paraboly a teprve potom ji „otočíme“ na kladnou. Kladné hodnoty zůstanou, záporné změní znaménko.
x
0
1
2
3
4
g(x)
3
0
−1
0
3
|g(x)|
3
0
1
0
3
Na grafu to znamená: část paraboly pod osou x se překlopí nahoru (zrcadlí se podle osy x). Mezi kořeny 1 a 3 tak vznikne malý „oblouček“ s nejvyšším bodem [2; 1]. Graf y = |g(x)| nikdy neklesne pod osu x.
Absolutní hodnota jen u x
U y = x² − 4|x| + 3 je to jinak. Pro x ≥ 0 je |x| = x, takže předpis je stejný jako g(x). Pro záporné x dostaneme stejnou hodnotu jako pro opačné kladné číslo: pro x = −1 i x = 1 vyjde 1 − 4 + 3 = 0.
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y
3
0
−1
0
3
0
−1
0
3
![Graf y = x² − 4|x| + 3: dvě stejné „misky“ s vrcholy [−2; −1] a [2; −1] a špičkou v bodě [0; 3]](/images/high-school/elementary-functions/quadratic-abs-inner.png)
Postup kreslení: nakreslíme jen pravou polovinu paraboly (x ≥ 0) a zrcadlíme ji podle osy y. Levá polovina původní paraboly se zahodí. Výsledek je sudá funkce — graf je souměrný podle osy y, se dvěma minimy [−2; −1] a [2; −1] a špičkou [0; 3].
💡 Pozor: tento graf může jít pod osu x. Absolutní hodnota je jen u x, ne u celého výsledku.
Počet řešení rovnice f(x) = c
Řešení rovnice f(x) = c jsou x-ové souřadnice bodů, kde graf protíná vodorovnou přímku y = c. Stačí je spočítat na obrázku.
Řešený příklad 1
Kolik řešení má rovnice |x² − 4x + 3| = c pro různá c?
c
počet řešení
proč
c < 0
0
graf je celý nad osou x nebo na ní
c = 0
2
body [1; 0] a [3; 0]
0 < c < 1
4
přímka protne obě ramena i oblouček
c = 1
3
přímka se obloučku dotkne v bodě [2; 1]
c > 1
2
přímka protne jen vnější ramena
Pro c = 1 to ověříme výpočtem: buď x² − 4x + 3 = 1, tedy (x − 2)² = 2 a x = 2 ± √2, nebo x² − 4x + 3 = −1, tedy (x − 2)² = 0 a x = 2. Celkem tři řešení. ✓
Řešený příklad 2
Kolik řešení má rovnice x² − 4|x| + 3 = c?
c
počet řešení
c < −1
0
c = −1
2 (x = −2 a x = 2)
−1 < c < 3
4
c = 3
3 (x = −4, x = 0 a x = 4)
c > 3
2
Pro c = 3: pro x ≥ 0 řešíme x² − 4x + 3 = 3, tedy x(x − 4) = 0 a x = 0 nebo x = 4. Zrcadlením přibude x = −4. Bod x = 0 leží na ose y, ten se nezdvojí. Celkem tři řešení. ✓
Jak rozlišit čtyři podobné grafy
Z jedné paraboly g(x) vzniknou čtyři různé grafy:
předpis
co se stane s parabolou
jak ho poznáš
y = g(x)
nic
část pod osou x, není souměrný podle osy y
y = |g(x)|
část pod osou x se překlopí nahoru
nikdy není pod osou x
y = g(|x|)
pravá polovina se zrcadlí doleva
souměrný podle osy y, může jít pod osu x
y = |g(|x|)|
obojí
souměrný podle osy y a nikdy není pod osou x
Nejčastější chyby
Překlopení celého grafu. U |g(x)| se překlápí jen část pod osou x, část nad osou zůstává beze změny.
Zrcadlení levé poloviny. U g(|x|) se zachová pravá polovina (x ≥ 0), levá se zahodí.
Zdvojený bod na ose y. Když řešení vyjde x = 0, zrcadlením nepřibude druhé řešení.
„Dotyk se nepočítá.“ Když se přímka y = c grafu jen dotkne (vrchol obloučku), je to jedno řešení.
Ve zkratce
y = |g(x)|: část grafu pod osou x překlopíme nahoru.
y = g(|x|): nakreslíme pravou polovinu (x ≥ 0) a zrcadlíme ji podle osy y.
Počet řešení f(x) = c = počet průsečíků grafu s přímkou y = c.
Pozor na body dotyku (vrchol, špička na ose y) — tam se počet řešení mění.
Zkus si sám
Kolik řešení má rovnice |x² − 4x + 3| = 2?
Kolik řešení má rovnice x² − 4|x| + 3 = 0? Jaká jsou?
Kolik řešení má rovnice x² − 4|x| + 3 = −2?
Řešení:
Dvě. x² − 4x + 3 = 2 dá (x − 2)² = 3 a x = 2 ± √3. Rovnice x² − 4x + 3 = −2 dá (x − 2)² = −1, ta nemá řešení.
Čtyři: x² − 4x + 3 = 0 pro x ≥ 0 dá x = 1 a x = 3, zrcadlením přibudou x = −1 a x = −3.
Žádné. Nejmenší hodnota funkce je −1 (v bodech x = ±2), hodnoty −2 graf nikdy nedosáhne.
