Na dovolené v zahraničí přepočítáváš ceny: z eur na koruny násobíš kurzem, z korun na eura kurzem dělíš. Druhý přepočet dělá přesně opačnou práci než první. Takové „zpáteční“ funkci říkáme inverzní funkce.
Když funkce f udělá z čísla 3 číslo 7, inverzní funkce f⁻¹ udělá ze 7 zase 3.
f⁻¹ čteme „f na minus první“ nebo „inverzní funkce k f“. Pozor, nejde o mocninu: f⁻¹(x) není 1/f(x).
Inverzní funkce musí umět jednoznačně „vrátit“ výsledek zpět. U y = x² to nejde: hodnotu 9 dostaneme ze 3 i z −3. Kdybychom se zeptali „z čeho vzniklo 9?“, odpověď není jednoznačná.
Funkce je prostá, jestliže dvě různá čísla x nikdy nedají stejnou hodnotu y. Inverzní funkci má jen prostá funkce.
Prosté jsou například y = 2x + 1, y = x³, y = 1/x, y = √x.
Prosté nejsou y = x², y = |x|, y = 5 (konstanta).
💡 Z grafu: protne-li některá vodorovná přímka graf aspoň dvakrát, funkce prostá není. Víc v článku Vlastnosti funkcí.
💡 Funkci, která prostá není, můžeme „zúžit“. y = x² pro x ≥ 0 už prostá je — její inverzní funkce je y = √x.
Jak vypočítat inverzní funkci
Postup:
Napiš y = f(x).
Vyměň x a y.
Vyjádři y.
Řešený příklad 1
f(x) = 2x + 1.
y = 2x + 1.
Výměna: x = 2y + 1.
Vyjádření: 2y = x − 1, tedy y = (x − 1)/2.
Výsledek: f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
Zkouška: f(3) = 7 a f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. ✓
Řešený příklad 2
f(x) = x−34−1.
Výměna: x = y−34−1.
x + 1 = y−34, tedy y − 3 = x+14.
y = x+14+3.
Výsledek: f⁻¹(x) = 4/(x + 1) + 3. Asymptoty se vyměnily: f má x = 3 a y = −1, f⁻¹ má x = −1 a y = 3.
Graf inverzní funkce
Leží-li bod [a; b] na grafu f, pak f pošle a na b. Inverzní funkce pošle b na a, proto bod [b; a] leží na grafu f⁻¹. Souřadnice se jednoduše vymění.
![Oranžová přímka f(x) = 2x + 1 a přerušovaná přímka f⁻¹(x) = (x − 1)/2, souměrné podle přerušované přímky y = x; bod [1; 3] na f a bod [3; 1] na f⁻¹](/images/high-school/elementary-functions/inverse.png)
Výměna souřadnic je zrcadlení podle přímky y = x. Proto:
Grafy f a f⁻¹ jsou souměrné podle přímky y = x.
Na obrázku: bod [1; 3] na grafu f má zrcadlový obraz [3; 1] na grafu f⁻¹.
Definiční obor a obor hodnot
Při výměně x a y se vymění i obory:
definiční obor f⁻¹ = obor hodnot f,
obor hodnot f⁻¹ = definiční obor f.
U f(x) = 4/(x − 3) − 1 je D(f) = ℝ ∖ {3} a H(f) = ℝ ∖ {−1}. Pro inverzní funkci D(f⁻¹) = ℝ ∖ {−1} a H(f⁻¹) = ℝ ∖ {3}.
Nejčastější chyby
f⁻¹(x) = 1/f(x). Ne! Minus jednička tu neznamená převrácenou hodnotu. U f(x) = 2x + 1 je 1/f(x) = 1/(2x + 1), ale f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
„Obrácené“ operace ve špatném pořadí. f(x) = 2x + 1 nejprve násobí 2 a potom přičte 1. Inverzní funkce musí nejprve odečíst 1 a teprve potom dělit 2: (x − 1)/2, ne x/2 − 1.
Inverzní funkce k funkci, která není prostá. y = x² na celém ℝ inverzní funkci nemá.
Zrcadlení podle osy y. Grafy f a f⁻¹ jsou souměrné podle přímky y = x, ne podle osy.
Ve zkratce
Inverzní funkce f⁻¹ vrací výsledek f zpět: je-li f(a) = b, pak f⁻¹(b) = a.
Existuje jen pro prostou funkci.
Výpočet: y = f(x), vyměň x a y, vyjádři y.
Graf f⁻¹ je zrcadlový obraz grafu f podle přímky y = x.
D(f⁻¹) = H(f) a H(f⁻¹) = D(f).
Zkus si sám
Najdi inverzní funkci k f(x) = 3x − 6.
Najdi inverzní funkci k f(x) = 2/(x + 1).
Bod [−2; 5] leží na grafu f. Který bod leží na grafu f⁻¹?