Kvadratické nerovnice — řešení pomocí paraboly

Kamarádka vyhodí míč a ty chceš vědět, kdy byl míč výš než 2 metry. Nehledáš jeden okamžik, ale celý časový úsek. Přesně to dělá nerovnice: místo jednoho čísla hledá všechna čísla, která splňují podmínku. U kvadratické nerovnice nám pomůže parabola.

Kvadratická nerovnice má tvar ax² + bx + c > 0 (nebo <, ≥, ≤), kde a ≠ 0.

Obsah

Postup ve třech krocích

Řešme (x − 1)(x − 4) < 0. Čteme: „pro která x je součin záporný?“

  1. Kořeny. Výraz je nulový pro x = 1 a x = 4. Tam parabola protíná osu x.
  2. Náčrt. Po roznásobení je u x² číslo +1, ramena jdou nahoru. Mezi kořeny je parabola pod osou x, mimo ně nad osou.
  3. Výběr. Hledáme „< 0“, tedy část pod osou x. To je mezi kořeny.
Parabola y = (x − 1)(x − 4); část mezi kořeny 1 a 4 je pod osou x a je zvýrazněná oranžově, kořeny jsou prázdná kolečka

Řešení: x ∈ (1; 4).

Zápis (1; 4) je otevřený interval — čísla mezi 1 a 4, ale bez 1 a 4. Kulaté závorky znamenají „krajní bod nepatří“, lomené ⟨ ⟩ „krajní bod patří“.

Kořeny nepatří, protože v nich je výraz roven nule a 0 < 0 neplatí.

Řešené příklady

Řešený příklad 1

x² − x − 6 ≥ 0

  1. Kořeny rovnice x² − x − 6 = 0: rozklad (x − 3)(x + 2) = 0, tedy x₁ = −2, x₂ = 3.
  2. a = 1 > 0, ramena nahoru: nad osou x je parabola vlevo od −2 a vpravo od 3.
  3. Hledáme „≥ 0“ — nad osou nebo na ní, proto kořeny patří.

Řešení: x ∈ (−∞; −2⟩ ∪ ⟨3; ∞).

Znak ∪ čteme „sjednocení“ — řešením jsou čísla z jednoho nebo z druhého intervalu. U nekonečna (∞) je závorka vždy kulatá.

Řešený příklad 2 (a < 0)

−x² + 2x + 8 > 0

  1. Kořeny: −x² + 2x + 8 = 0 ⇔ x² − 2x − 8 = 0 ⇔ (x − 4)(x + 2) = 0, tedy x₁ = −2, x₂ = 4.
  2. a = −1 < 0, ramena dolů: nad osou x je parabola mezi kořeny.
  3. Hledáme „> 0“, tedy nad osou, bez kořenů.

Řešení: x ∈ (−2; 4).

💡 Jiný způsob: celou nerovnici vynásob −1. Znak se otočí: x² − 2x − 8 < 0, a to je opět (−2; 4).

Když parabola osu x neprotne

x² + 2x + 5 > 0

  1. Diskriminant D = 4 − 20 = −16 < 0. Rovnice nemá reálné kořeny, parabola osu x neprotne.
  2. a = 1 > 0, ramena nahoru. Celá parabola je nad osou x — výraz je vždy kladný.
  3. Hledáme „> 0“: platí pro každé x.

Řešení: x ∈ ℝ (všechna reálná čísla).

Kdybychom hledali x² + 2x + 5 < 0, řešením by byla prázdná množina ∅ — takové x neexistuje.

Dvojnásobný kořen

x² − 6x + 9 > 0, neboli (x − 3)² > 0.

  • Druhá mocnina je vždy ≥ 0. Nula vyjde jen pro x = 3.
  • Řešení: všechna čísla kromě 3, zapisujeme x ∈ ℝ ∖ {3} („ℝ bez trojky“).

Další varianty: (x − 3)² ≥ 0 má řešení ℝ, (x − 3)² < 0 nemá řešení (∅), (x − 3)² ≤ 0 má jediné řešení x = 3, zapisujeme {3}.

Přehled

Pro a > 0 a dva kořeny x₁ < x₂:

NerovniceKde je parabolaŘešení
ax² + bx + c > 0nad osou x, mimo kořeny(−∞; x₁) ∪ (x₂; ∞)
ax² + bx + c ≥ 0nad osou nebo na ní(−∞; x₁⟩ ∪ ⟨x₂; ∞)
ax² + bx + c < 0pod osou x, mezi kořeny(x₁; x₂)
ax² + bx + c ≤ 0pod osou nebo na ní⟨x₁; x₂⟩

Pro a < 0 je to naopak: kladné hodnoty jsou mezi kořeny.

Nejčastější chyby

  • Řešení jako u rovnice. x² < 9 neznamená x < 3. Řešením je x ∈ (−3; 3).
  • Zapomenuté otočení znaku při násobení záporným číslem.
  • Špatné závorky. U < a > kořeny nepatří (kulatá závorka), u ≤ a ≥ patří (lomená). U ∞ je závorka vždy kulatá.
  • „Bez kořenů = bez řešení.“ Ne vždy! x² + 1 > 0 platí pro všechna x.

Ve zkratce

  1. Najdi kořeny (rozklad, vzorec nebo vrcholový tvar).
  2. Načrtni parabolu: a > 0 nahoru, a < 0 dolů.
  3. „> 0“ = nad osou x, „< 0“ = pod osou x.
  4. U ≤ a ≥ kořeny patří do řešení.

Zkus si sám

  1. x² − 5x + 4 ≤ 0
  2. x² − 9 > 0
  3. −x² + 4x − 3 ≥ 0
  4. x² + x + 1 < 0
Řešení:
  1. Kořeny 1 a 4, a > 0, mezi kořeny včetně: x ∈ ⟨1; 4⟩.
  2. Kořeny −3 a 3, mimo ně: x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; ∞).
  3. Kořeny 1 a 3, a < 0, nad osou je parabola mezi kořeny: x ∈ ⟨1; 3⟩.
  4. D = 1 − 4 < 0, parabola je celá nad osou: nemá řešení, ∅.

Procvič si

👉 Další článek: Funkce s absolutní hodnotou