Kvadratická funkce a její graf — vrchol, doplnění na čtverec

Když hodíš míč šikmo nahoru, letí po oblouku: nejdřív stoupá, v nejvyšším bodě se na okamžik „zastaví“ a pak padá. Ten oblouk je parabola — graf kvadratické funkce. Stejný tvar má proud vody z fontány i průřez satelitní antény.

Kvadratická funkce má předpis

y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0.

Čísla a, b, c jsou koeficienty. Například y = 2x² − 4x + 1 má a = 2, b = −4, c = 1.

Obsah

Co dělá číslo a

Čtyři paraboly s vrcholem v počátku: y = x², užší y = 2x², širší y = ½x² a obrácená y = −x²
  • a > 0: ramena paraboly jdou nahoru, vrchol je nejnižší bod.
  • a < 0: ramena jdou dolů, vrchol je nejvyšší bod.
  • Čím je |a| větší, tím je parabola užší. y = 2x² je užší než y = x², y = ½x² je širší.

💡 Pomůcka: od vrcholu jdi o 1 doprava. Graf stoupne přesně o a (u y = 2x² o 2, u y = −x² klesne o 1).

Vrcholový tvar

Nejdůležitější bod paraboly je vrchol V. Je-li předpis ve tvaru

y = a(x − m)² + n,

vrchol je V = [m; n]. Celá parabola y = ax² je jen posunutá: o m doprava a o n nahoru.

  • y = (x − 3)² − 4 má vrchol V = [3; −4].
  • y = (x + 2)² + 1 = (x − (−2))² + 1 má vrchol V = [−2; 1].

⚠️ Pozor na znaménko: x − 3 posouvá doprava, x + 2 posouvá doleva.

Svislá přímka vrcholem x = m je osa souměrnosti paraboly. Levá a pravá polovina jsou podle ní zrcadlové.

Doplnění na čtverec

Předpis obvykle dostaneme ve tvaru ax² + bx + c. Do vrcholového tvaru ho převedeme doplněním na čtverec. Využíváme vzorec (x + d)² = x² + 2dx + d².

Řešený příklad 1

y = x² − 6x + 5. Najdi vrchol.

  1. U x je −6. Polovina je −3, proto použijeme (x − 3)² = x² − 6x + 9.
  2. V předpisu je +5, ne +9. Upravíme: x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5.
  3. y = (x − 3)² − 4.
  4. Vrchol V = [3; −4], osa paraboly x = 3.

![Parabola y = (x − 3)² − 4 s vrcholem [3; −4], osou souměrnosti x = 3 a průsečíky [1; 0], [5; 0] a [0; 5]](/images/high-school/elementary-functions/quadratic-vertex.png)

Řešený příklad 2 (a ≠ 1)

y = 2x² + 8x + 3.

  1. Vytkneme 2 z prvních dvou členů: y = 2(x² + 4x) + 3.
  2. V závorce doplníme: x² + 4x = (x + 2)² − 4.
  3. y = 2[(x + 2)² − 4] + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5.
  4. Vrchol V = [−2; −5].

💡 Rychlá kontrola: x-ová souřadnice vrcholu je vždy . Pro příklad 2: −8/4 = −2. ✓ y-ovou souřadnici dostaneš dosazením: 2 · 4 − 16 + 3 = −5. ✓

Průsečíky s osami

S osou y: dosadíme x = 0. Vyjde y = c. Graf y = x² − 6x + 5 protíná osu y v bodě [0; 5]. S osou x: hledáme x, pro která y = 0, tedy řešíme rovnici ax² + bx + c = 0. Z vrcholového tvaru to jde rychle:

Řešený příklad 3

(x − 3)² − 4 = 0

  1. (x − 3)² = 4.
  2. x − 3 = 2 nebo x − 3 = −2.
  3. x₁ = 5, x₂ = 1. Průsečíky jsou [1; 0] a [5; 0].

Graf osu x nemusí protínat. Například y = (x − 1)² + 3: vrchol [1; 3] je nad osou x a ramena jdou nahoru, takže parabola osy x nikdy nedosáhne. Rovnice (x − 1)² = −3 nemá řešení.

💡 Průsečíky s osou x leží souměrně kolem osy paraboly. U příkladu 3: 1 a 5 jsou od čísla 3 stejně daleko.

Jak přiřadit předpis ke grafu

  1. Vrchol [m; n] → předpis má tvar a(x − m)² + n.
  2. Směr ramen → znaménko a.
  3. Krok od vrcholu o 1 doprava → o kolik graf stoupne, to je a.
  4. Průsečík s osou y → číslo c v roznásobeném tvaru.

Řešený příklad 4

Parabola má vrchol [−1; 2], ramena dolů a z vrcholu o 1 doprava klesne o 2. Předpis: y = −2(x + 1)² + 2. Po roznásobení y = −2x² − 4x, průsečík s osou y je [0; 0].

Nejčastější chyby

  • Špatné znaménko vrcholu. y = (x + 4)² má vrchol v x = −4, ne 4.
  • Zapomenuté a při doplnění na čtverec. V příkladu 2 je třeba −4 vynásobit dvěma: 2 · (−4) = −8.
  • Záměna průsečíku s osou y a vrcholu. Průsečík s osou y je [0; c], vrchol je [m; n].
  • „Každá parabola protíná osu x.“ Ne, je-li vrchol nad osou a ramena jdou nahoru (nebo pod osou a dolů), průsečíky nejsou.

Ve zkratce

  • y = ax² + bx + c, a ≠ 0, graf je parabola.
  • a > 0 ramena nahoru, a < 0 dolů, větší |a| = užší parabola.
  • y = a(x − m)² + n má vrchol V = [m; n] a osu x = m.
  • Doplnění na čtverec: x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)².
  • Osa y: [0; c]. Osa x: řešení rovnice ax² + bx + c = 0.

Zkus si sám

  1. Najdi vrchol paraboly y = x² + 4x + 1.
  2. Najdi vrchol paraboly y = −x² + 6x − 5.
  3. Najdi průsečíky grafu y = x² − 2x − 3 s osou x a s osou y.
Řešení:
  1. y = (x + 2)² − 3, V = [−2; −3].
  2. y = −(x² − 6x) − 5 = −(x − 3)² + 9 − 5 = −(x − 3)² + 4, V = [3; 4].
  3. y = (x − 1)² − 4, takže x − 1 = ±2: průsečíky s osou x [−1; 0] a [3; 0]. S osou y [0; −3].

Procvič si

👉 Další článek: Kvadratické nerovnice