Lineární lomená funkce a mocninné funkce

Na výlet jedete autobusem, který stojí 3 000 korun, a cenu si rozdělíte rovným dílem. Když vás jede 4, platí každý 750 korun. Když 8, jen 375 korun. Čím víc lidí, tím méně platí každý, ale cena nikdy neklesne na nulu. To je nepřímá úměrnost y = 3000/x a jejím grafem je hyperbola.

---

Obsah

• Hyperbola a asymptoty
• Posunutá hyperbola
• Lineární lomená funkce v obecném tvaru
• Mocninné funkce
• Nejčastější chyby
• Ve zkratce
• Zkus si sám
• Procvič si

---

Hyperbola a asymptoty

Funkce y = k/x (k ≠ 0) není definovaná pro x = 0 — nulou dělit nelze. Její graf má dvě větve.

• Pro x blízko nuly je k/x obrovské číslo: graf „uletí“ nahoru nebo dolů podél osy y.
• Pro velká x je k/x skoro nula: graf se „přimkne“ k ose x.

Přímky, ke kterým se graf pořád přibližuje, ale nikdy jich nedosáhne, se nazývají asymptoty. U y = k/x jsou to osy x a y.

• k > 0: větve jsou v I. a III. kvadrantu, funkce klesá na každé větvi.
• k < 0: větve jsou v II. a IV. kvadrantu, funkce roste na každé větvi.

---

Posunutá hyperbola

Funkce

y = $\frac{k}{x-m}+n$

má stejnou hyperbolu jako y = k/x, jen posunutou: o m doprava a o n nahoru. Asymptoty jsou:

• svislá x = m — tam je jmenovatel nulový,
• vodorovná y = n — k tomuto číslu se y blíží pro velká x.

Řešený příklad 1

y = $\frac{3}{x-2}+1$.

1. Jmenovatel x − 2 = 0 pro x = 2. Svislá asymptota x = 2.
2. Zlomek 3/(x − 2) je pro velká x skoro nula, proto y ≈ 1. Vodorovná asymptota y = 1.
3. Definiční obor ℝ ∖ {2}, obor hodnot ℝ ∖ {1}.

⚠️ Znaménko: y = 5/(x + 3) − 2 má asymptoty x = −3 a y = −2.

---

Lineární lomená funkce v obecném tvaru

Lineární lomená funkce je podíl dvou lineárních výrazů:

y = $\frac{ax+b}{cx+d}$, kde c ≠ 0 a výrazy v čitateli a jmenovateli nejsou násobky.

Asymptoty najdeme tak, že zlomek vydělíme — převedeme ho na tvar k/(x − m) + n.

Řešený příklad 2

y = $\frac{2x+1}{x-1}$.

1. Čitatel zapíšeme pomocí jmenovatele: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.
2. y = $\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$.
3. Asymptoty: x = 1 a y = 2.

💡 Zkratka: svislá asymptota je tam, kde je jmenovatel nulový. Vodorovná je podíl čísel u x: y = a/c. Tady 2/1 = 2.

---

Mocninné funkce

Mocninná funkce má předpis y = xⁿ. Její vlastnosti závisí na tom, jestli je exponent n sudý, nebo lichý a jestli je kladný, nebo záporný. Sudý kladný exponent (x², x⁴, …): graf jako parabola, funkce je sudá, D = ℝ, H = ⟨0; ∞), má minimum 0, na ⟨0; ∞) roste. Sudý záporný exponent (x⁻² = 1/x², x⁻⁴, …): funkce je sudá, D = ℝ ∖ {0}, H = (0; ∞), na (0; ∞) klesá, minimum nemá. Lichý kladný exponent (x³, x⁵, …): funkce je lichá, rostoucí na celém ℝ, D = H = ℝ. Lichý záporný exponent (x⁻¹ = 1/x, x⁻³, …): hyperbola, funkce je lichá, D = H = ℝ ∖ {0}, na (0; ∞) klesá.

Zápis x⁻² čteme „x na minus druhou“ a znamená 1/x².

💡 Všechny grafy y = xⁿ procházejí bodem [1; 1]. Pro kladná n procházejí i bodem [0; 0].

---

Nejčastější chyby

• Špatné znaménko asymptoty. U 1/(x + 4) je svislá asymptota x = −4.
• Zapomenutá vodorovná asymptota. U y = k/(x − m) + n je to y = n, ne osa x.
• x⁻² = −x². Ne! x⁻² = 1/x², je vždy kladné.
• „Hyperbola je klesající.“ Pro k > 0 klesá na každé větvi zvlášť, ale na celém definičním oboru klesající není: −1 < 1, a přesto 1/(−1) < 1/1.

---

Ve zkratce

• y = k/(x − m) + n: hyperbola, asymptoty x = m a y = n.
• (ax + b)/(cx + d): vyděl, nebo použij x = −d/c a y = a/c.
• y = xⁿ: sudé n → sudá funkce, liché n → lichá funkce.
• Záporné n: graf se nedotkne os, D neobsahuje nulu.

---

Zkus si sám

1. Urči asymptoty funkce y = 4/(x + 1) − 3.
2. Urči asymptoty funkce y = (x + 5)/(x − 2).
3. Je funkce y = x⁻³ sudá, nebo lichá? Jaký má definiční obor?

Řešení:

1. x = −1, y = −3.
2. x + 5 = (x − 2) + 7, tedy y = 1 + 7/(x − 2): x = 2, y = 1.
3. Lichá (exponent −3 je lichý), D = ℝ ∖ {0}.

---

Procvič si

• 📈 Lineární lomená a mocninná funkce
• 🔍 Prostá a inverzní funkce

👉 Další článek: Prostá a inverzní funkce