Taxík si účtuje 3 € za nástup a 1 € za každý kilometr. Za 5 km zaplatíš 3 + 5 · 1 = 8 €, za 10 km 13 €. Cena y závisí na počtu kilometrů x podle předpisu y = x + 3. Každý kilometr navíc přidá stejnou částku — a přesně to je lineární funkce.
Lineární funkce má předpis
y = kx + q, kde k a q jsou reálná čísla.
Jejím grafem je přímka. Například y = 2x − 3 má k = 2 a q = −3.
Dosaďme x = 0: y = k · 0 + q = q. Graf tedy prochází bodem [0; q] — v něm protíná osu y. Proto se q někdy říká úsek na ose y.
y = 2x + 1 protíná osu y v bodě [0; 1].
y = −x + 4 protíná osu y v bodě [0; 4].
y = 3x protíná osu y v bodě [0; 0] — přímka jde počátkem soustavy souřadnic.
V příkladu s taxíkem je q = 3: to jsou 3 € za nástup, které zaplatíš, i když jsi ještě nikam nejel (x = 0).
Co znamená číslo k
Číslo k se nazývá směrnice. Říká, o kolik se změní y, když se x zvětší o 1.
![Přímka y = 2x + 1: z bodu [0; 1] o 1 doprava a o 2 nahoru do bodu [1; 3]](/images/high-school/elementary-functions/linear-slope.png)
U y = 2x + 1 začneme v bodě [0; 1]. Posuneme se o 1 doprava a o 2 nahoru — jsme v bodě [1; 3]. Tento „schůdek“ platí na celé přímce: x = 2 dává y = 5, x = 3 dává y = 7.
Když je k zlomek, bývá schůdek větší. U y = ⅔x − 2 se vyplatí jít o 3 doprava: y se změní o ⅔ · 3 = 2. Z bodu [0; −2] se tak dostaneme do bodu [3; 0].
💡 Směrnici přečteš ze dvou libovolných bodů přímky jako podíl „o kolik nahoru“ : „o kolik doprava“.
Rostoucí, klesající, konstantní
![Tři přímky bodem [0; 1]: rostoucí y = x + 1, klesající y = −2x + 1 a vodorovná y = 1](/images/high-school/elementary-functions/linear-k-sign.png)
Všechny tři přímky na obrázku mají q = 1, liší se směrnicí:
k > 0: funkce je rostoucí (y = x + 1). Zleva doprava graf stoupá.
k < 0: funkce je klesající (y = −2x + 1). Zleva doprava graf klesá.
k = 0: funkce je konstantní (y = 1). Graf je vodorovná přímka.
Čím je |k| větší, tím je přímka strmější. y = −2x + 1 je strmější než y = x + 1.
Předpis ze dvou bodů
Přímku určují dva body. Z nich vypočítáme k i q.
Řešený příklad 1
Přímka prochází body A = [1; 1] a B = [3; 5]. Najdi její předpis.
Z A do B jde x o 3 − 1 = 2 doprava a y o 5 − 1 = 4 nahoru.
Směrnice: k = 4 : 2 = 2.
Dosadíme bod A do y = 2x + q: 1 = 2 · 1 + q, tedy q = −1.
Předpis: y = 2x − 1.
Zkouška s bodem B: 2 · 3 − 1 = 5 ✓.
Obecně pro body [x₁; y₁] a [x₂; y₂]:
k=x2−x1y2−y1,q=y1−k⋅x1
Řešený příklad 2
A = [−2; 7], B = [2; −1].
k = (−1 − 7) : (2 − (−2)) = −8 : 4 = −2.
q = 7 − (−2) · (−2) = 7 − 4 = 3.
Předpis: y = −2x + 3. Funkce je klesající, protože k < 0.
Zkouška s bodem B: −2 · 2 + 3 = −1 ✓.
Průsečíky s osami
![Přímka y = ⅔x − 2 s průsečíky [3; 0] a [0; −2]](/images/high-school/elementary-functions/linear-intercepts.png)
S osou y: dosadíme x = 0. Vyjde y = q, bod je [0; q].
S osou x: hledáme x, pro které y = 0. Řešíme rovnici kx + q = 0.
Řešený příklad 3
y = ⅔x − 2.
Osa y: x = 0 dá y = −2. Průsečík [0; −2].
Osa x: ⅔x − 2 = 0, tedy ⅔x = 2 a x = 2 · 3/2 = 3. Průsečík [3; 0].
k = ⅔ > 0, funkce je rostoucí.
⚠️ Konstantní funkce y = q (k = 0) osu x neprotíná, pokud q ≠ 0. Rovnice 0 · x + q = 0 nemá řešení.
Nejčastější chyby
Záměna k a q. V y = 3x − 5 je směrnice 3, průsečík s osou y je [0; −5], ne [0; 3].
Špatné znaménko při odčítání. U bodů [−2; 7] a [2; −1] je rozdíl x-ových souřadnic 2 − (−2) = 4, ne 0.
Obrácený podíl. Směrnice je „změna y : změna x“, ne naopak.
Rostoucí podle q. O růstu rozhoduje jen k. y = −x + 100 je klesající, i když q je velké.
Ve zkratce
y = kx + q, graf je přímka.
q: průsečík s osou y je [0; q].
k: o kolik se změní y, když x vzroste o 1. k > 0 rostoucí, k < 0 klesající, k = 0 konstantní.
Ze dvou bodů: k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), potom q = y₁ − k · x₁.
Průsečík s osou x: řešení rovnice kx + q = 0.
Zkus si sám
Přímka prochází body [0; 4] a [2; 0]. Najdi její předpis.
Najdi průsečíky grafu y = −3x + 6 s osami. Je funkce rostoucí, nebo klesající?
