Vlastnosti funkcí: monotonie, omezenost, extrémy a prostá funkce
Představ si, že přes léto každý den ve 14:00 zapisuješ venkovní teplotu. Z grafu pak hned vidíš, kdy se oteplovalo, kdy ochlazovalo, jaká byla nejvyšší teplota a jestli někdy klesla pod nulu. Přesně tyhle otázky si klademe u každé funkce. Říká se jim vlastnosti funkce a dají se vyčíst z grafu i bez počítání.
V celém článku čteme graf zleva doprava, stejně jako text v knize.
Funkce je rostoucí na intervalu, jestliže její graf na něm zleva doprava pořád stoupá. Větší x dává větší y.
Funkce je klesající na intervalu, jestliže její graf zleva doprava pořád klesá. Větší x dává menší y.
Na obrázku funkce:
roste na intervalu ⟨−5; −2⟩ (oranžová část vlevo),
klesá na intervalu ⟨−2; 2⟩ (černá část),
znovu roste na intervalu ⟨2; 5⟩.
Zápis ⟨−2; 2⟩ čteme „uzavřený interval od minus dvou do dvou“. Patří do něj všechna čísla od −2 do 2 včetně krajních.
Matematicky: funkce f je rostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě čísla x₁ < x₂ z I platí f(x₁) < f(x₂). Slovy: „když se posunu doprava, hodnota stoupne“.
Je-li graf na intervalu vodorovná úsečka, funkce je tam konstantní — hodnota se nemění. A když na intervalu graf nejprve stoupá a pak klesá, funkce tam není ani rostoucí, ani klesající.
💡 Rostoucím a klesajícím funkcím společně říkáme monotónní.
Omezená funkce
Funkce je omezená shora, jestliže její graf nikdy nevystoupí nad nějakou vodorovnou přímku. Je omezená zdola, jestliže graf nikdy neklesne pod nějakou vodorovnou přímku. Platí-li obojí, říkáme prostě, že je omezená.
Graf na obrázku se drží v pásu mezi přímkami y = −1 a y = 3. Funkce je omezená shora i zdola.
U grafu se šipkami na koncích pozor: šipka říká, že graf pokračuje stejným směrem donekonečna.
Šipka nahoru znamená, že funkce není omezená shora.
Šipka dolů znamená, že funkce není omezená zdola.
Vodorovné šipky omezenost nepokazí.
Řešený příklad 1
Je funkce y = x² omezená?
Druhá mocnina není nikdy záporná, proto x² ≥ 0. Graf nikdy neklesne pod osu x — funkce je omezená zdola.
Pro x = 10 je y = 100, pro x = 1000 je y = 1 000 000. Hodnoty rostou bez hranice — funkce není omezená shora.
Maximum a minimum
Maximum funkce je její největší hodnota — y-ová souřadnice nejvyššího bodu grafu. Minimum je nejmenší hodnota — y-ová souřadnice nejnižšího bodu.
Na obrázku výše je nejvyšší bod [0; 3]. Funkce má maximum 3 v bodě x = 0.
Minimum tato funkce nemá. Graf se sice pořád přibližuje k přímce y = −1, ale nikdy ji nedosáhne. Každá hodnota je o kousek větší než −1, takže žádná není nejmenší.
⚠️ Funkce, která není omezená shora, nemůže mít maximum. Vždycky se najde ještě větší hodnota.
Řešený příklad 2
Funkce y = −x² + 4. Má maximum, nebo minimum?
−x² je vždy menší nebo rovno nule, proto y ≤ 0 + 4 = 4.
Hodnoty 4 funkce dosáhne pro x = 0. Maximum je 4.
Pro velká x jsou hodnoty libovolně malé (pro x = 10 je y = −96). Minimum funkce nemá.
Prostá funkce
Funkce je prostá, jestliže každou hodnotu y nabývá nejvýše jednou. Dvě různá čísla x nikdy nedají stejnou hodnotu.
Příklad z běžného života: přiřazení „žák → číslo v třídní knize“ je prosté, každé číslo má jen jeden žák. Přiřazení „žák → měsíc narození“ prosté není, v jednom měsíci se narodilo víc žáků.
Funkce y = x² − 2 prostá není: pro x = −2 i pro x = 2 dostaneme y = 2.
Funkce y = x³/4 prostá je. Graf pořád stoupá, takže každé výšky dosáhne jen jednou.
💡 Test vodorovnou přímkou: Protne-li některá vodorovná přímka graf aspoň dvakrát, funkce není prostá.
💡 Každá funkce, která je na celém definičním oboru rostoucí (nebo na celém klesající), je prostá. Prosté funkce jsou důležité, protože jen ony mají inverzní funkci.
Nejčastější chyby
Čtení grafu zprava doleva. „Rostoucí“ vždy znamená stoupat zleva doprava.
Záměna maxima a místa maxima. Maximum je hodnota y (například 3), ne x, ve kterém ho funkce dosáhne.
Přehlížení šipek. Šipka nahoru znamená, že maximum neexistuje, i když je na obrázku nějaký „nejvyšší“ bod.
„Má minimum, protože se blíží k −1“. Přibližovat se nestačí, funkce musí hodnoty opravdu dosáhnout.
Prostá = rostoucí. Každá rostoucí funkce je prostá, ale například y = 1/x je prostá, a rostoucí není.
Ve zkratce
Rostoucí: zleva doprava stoupá. Klesající: zleva doprava klesá.
Omezená shora: graf nevystoupí nad nějakou přímku. Omezená zdola: neklesne pod nějakou přímku.
Maximum / minimum: největší / nejmenší hodnota y, které funkce opravdu dosáhne.
Prostá: každé y nejvýše jednou. Test vodorovnou přímkou.
Zkus si sám
Pro funkci y = |x| (graf ve tvaru V s vrcholem v [0; 0]) urči:
Na kterém intervalu je klesající a na kterém rostoucí?
