Funkce a rovnice s absolutní hodnotou

Bydlíš u zastávky a autobus je od tebe 300 metrů. Je jedno, jestli je 300 metrů vlevo, nebo vpravo — vzdálenost je stejná. Přesně to měří absolutní hodnota: jak daleko je číslo od nuly, bez ohledu na směr.

|x| čteme „absolutní hodnota x“. |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.

Přesněji: |x| = x, je-li x ≥ 0, a |x| = −x, je-li x < 0. Záporné číslo tedy absolutní hodnota „otočí“ na kladné.

Obsah

Graf absolutní hodnoty

Udělejme tabulku pro y = |x|:

x−3−2−10123
y3210123

Body leží na dvou polopřímkách, které se setkají v bodě [0; 0]. Graf vypadá jako písmeno V. Bod [0; 0] je jeho vrchol.

Vlastnosti: funkce je sudá (graf je souměrný podle osy y), na (−∞; 0⟩ klesá, na ⟨0; ∞) roste, má minimum 0 a není prostá.

Posunutý graf

![Přerušovaný graf y = |x| a oranžový graf y = |x − 2| + 1 s vrcholem [2; 1]](/images/high-school/elementary-functions/abs-graphs.png)

Graf funkce

y = |x − a| + b

je totéž V, jen posunuté tak, že vrchol je v bodě [a; b].

  • y = |x − 2| + 1: vrchol [2; 1] — posun o 2 doprava a o 1 nahoru.
  • y = |x + 3|: vrchol [−3; 0] — posun o 3 doleva.
  • y = |x| − 4: vrchol [0; −4] — posun o 4 dolů.

⚠️ Stejná past jako u paraboly: minus v absolutní hodnotě posouvá doprava, plus doleva.

Řešený příklad 1

Graf ve tvaru V má vrchol [−1; −2]. Jaký je jeho předpis (je-li stejně „strmý“ jako y = |x|)?

Vrchol [a; b] = [−1; −2], takže y = |x − (−1)| + (−2) = |x + 1| − 2.

Rovnice s absolutní hodnotou

Rovnice |x − 3| = 5 se ptá: „která čísla jsou od trojky vzdálená 5?“ Na číselné ose jsou dvě: 3 + 5 = 8 a 3 − 5 = −2.

Algebraicky rovnici |výraz| = c (pro c > 0) rozdělíme na dvě rovnice:

výraz = c nebo výraz = −c.

Řešený příklad 2

x + 4
  1. x + 4 = 6 → x = 2.
  2. x + 4 = −6 → x = −10.
  3. Řešení: x ∈ {−10; 2}.

Zkouška: |2 + 4| = 6 ✓, |−10 + 4| = |−6| = 6 ✓.

Zvláštní případy

  • c = 0: |x − 5| = 0 má jediné řešení x = 5. Absolutní hodnotu nula má jen nula.
  • c < 0: |x + 1| = −3 nemá řešení. Absolutní hodnota není nikdy záporná.

Když je před x číslo

Řešený příklad 3

2x − 6
  1. 2x − 6 = 4 → 2x = 10 → x = 5.
  2. 2x − 6 = −4 → 2x = 2 → x = 1.
  3. Řešení: x ∈ {1; 5}.

💡 Všimni si: řešení jsou souměrná kolem čísla 3, kde je výraz 2x − 6 nulový.

Řešený příklad 4

3x + 6

Nejčastější chyby

  • Zapomenuté druhé řešení. |x| = 4 má řešení 4 i −4.
  • „Absolutní hodnota jen smaže minus uvnitř.“ |x − 3| není x + 3! Absolutní hodnota se týká celého výrazu.
  • Řešení rovnice |výraz| = záporné číslo. Takové řešení neexistuje, není třeba nic počítat.
  • Špatný směr posunu. |x − 2| má vrchol v x = 2, ne −2.

Ve zkratce

  • |x| je vzdálenost x od nuly, nikdy není záporná.
  • Graf y = |x − a| + b je V s vrcholem [a; b].
  • |výraz| = c, c > 0: výraz = c nebo výraz = −c (dvě řešení).
  • c = 0: jedno řešení. c < 0: žádné řešení.

Zkus si sám

  1. Jaký vrchol má graf y = |x + 2| − 3?
  2. Vyřeš |x − 1| = 7.
  3. Vyřeš |2x + 1| = 5.
  4. Vyřeš |4x − 8| = −2.
Řešení:
  1. [−2; −3].
  2. x − 1 = 7 nebo x − 1 = −7, tedy x ∈ {−6; 8}.
  3. 2x + 1 = 5 → x = 2; 2x + 1 = −5 → x = −3. Řešení {−3; 2}.
  4. Nemá řešení.

Procvič si

👉 Další článek: Lineární lomená a mocninná funkce