Predstav si aplikáciu na počasie, ktorá sa nikdy nemýli. Každý večer hlási: „Zajtra bude pršať alebo nebude pršať.“ Úspešnosť 100 %. Úžitok? Nulový. Či si máš vziať dáždnik, aj tak nevieš.
Podobne hovorí politik v televízii: „Ceny buď porastú, alebo neporastú.“ Nemôže sa pomýliť. Prečo? Lebo v skutočnosti nič nepovedal.
V logike majú takéto vety meno: tautológie. Sú pravdivé vždy, len vďaka tomu, ako sú poskladané. Nezáleží na tom, čo sa naozaj stane. Ich opakom sú kontradikcie, ktoré neplatia nikdy.
Znie to ako zbytočnosť? Práve naopak. Tautológie sú pravidlá, podľa ktorých správne usudzuje matematik aj detektív. A pomôžu ti odhaliť úvahu, ktorá len vyzerá logicky.
Obsah
- Tautológia: vždy pravda
- Kontradikcia: vždy nepravda
- Ani tautológia, ani kontradikcia
- Ako to overiť tabuľkou
- Riešené príklady
- Tautológie, ktoré treba poznať
- Usudzuj ako Sherlock
- Logická ekvivalencia
- Častý omyl: potvrdenie záveru
- Najčastejšie chyby
- V skratke
- Skús si sám
- Riešenia
- Precvič si
Tautológia: vždy pravda
Tautológia je zložený výrok, ktorý je pravdivý pri každom ohodnotení výrokov, z ktorých sa skladá.Inými slovami: za A, B, C môžeš dosadiť čokoľvek pravdivé aj nepravdivé. Výsledok bude vždy 1.
Najjednoduchšia tautológia je zákon vylúčenia tretieho:
A ∨ A′
Buď platí A, alebo platí jeho negácia. Tretia možnosť nie je.
| A | A′ | A ∨ A′ |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
Príklady zo života:
- „Zajtra bude pršať alebo nebude pršať.“
- „Test napíšem, alebo ho nenapíšem.“
- „Číslo 1 001 je prvočíslo alebo nie je prvočíslo.“
Všimni si posledný príklad. Možno nevieš, či 1 001 je prvočíslo. Aj tak vieš, že celá veta je pravdivá. Tautológia platí bez ohľadu na to, čo vieš o jej častiach.
Kontradikcia: vždy nepravda
Kontradikcia je zložený výrok, ktorý je vždy nepravdivý. Pri každom ohodnotení vyjde 0.A ∧ A′
Výrok nemôže platiť a zároveň neplatiť.
| A | A′ | A ∧ A′ |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
Príklady zo života:
- „Číslo 7 je párne a číslo 7 nie je párne.“
- „Ponuka je úplne zadarmo, zaplatíš len 9,99 €.“
- „Som doma a nie som doma.“
💡 Negácia tautológie je vždy kontradikcia a naopak. Keď tautológiu „otočíš“, z jednotiek v poslednom stĺpci sa stanú samé nuly.
Ani tautológia, ani kontradikcia
Väčšina zložených výrokov nie je ani jedno. Sú raz pravdivé a raz nie, podľa toho, čo dosadíš.
Napríklad A ∨ B: „Pôjdem do kina alebo pôjdem na tréning.“ Ak nepôjdeš nikam, výrok neplatí. Ak pôjdeš aspoň na jedno, platí.
| Typ výroku | Kedy je pravdivý | Príklad |
|---|---|---|
| tautológia | vždy | A ∨ A′ |
| kontradikcia | nikdy | A ∧ A′ |
| ani jedno | niekedy áno, niekedy nie | A ∨ B |
Ako to overiť tabuľkou
Urob tabuľku pravdivosti a pozri sa na posledný stĺpec.
| Posledný stĺpec | Výrok je |
|---|---|
| samé 1 | tautológia |
| samé 0 | kontradikcia |
| 1 aj 0 | ani jedno |
Postup:
- Napíš všetky kombinácie. Pre 2 výroky sú 4 riadky, pre 3 výroky 8 riadkov.
- Pridaj stĺpce pre medzivýsledky, od najmenších zátvoriek.
- Posledný stĺpec je celý výrok.
Overíme výrok (A ∧ B) ⇒ A:
| A | B | A ∧ B | (A ∧ B) ⇒ A |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
V poslednom stĺpci sú samé jednotky, takže (A ∧ B) ⇒ A je tautológia. Slovami: ak platí A aj B, tak určite platí A. „Mám pero aj ceruzku, teda mám pero.“
💡 Ak chceš ukázať, že výrok nie je tautológia, stačí jeden riadok s nulou. Ten riadok je kontrapríklad.
⚠️ Pri implikácii nezabudni: ak je predpoklad nepravdivý (0 ⇒ čokoľvek), implikácia je pravdivá. Tu sa robí najviac chýb. Spojky si môžeš zopakovať v článku Logické spojky.
Riešené príklady
Riešený príklad 1: modus tollens
Je výrok ((A ⇒ B) ∧ B′) ⇒ A′ tautológia?
Slovami: „Ak prší, je mokrá cesta. Cesta nie je mokrá. Teda neprší.“
| A | B | A ⇒ B | B′ | (A ⇒ B) ∧ B′ | A′ | celý výrok |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Riešený príklad 2: porušený sľub
Je výrok (A ⇒ B) ∧ (A ∧ B′) tautológia, kontradikcia, alebo ani jedno?
Slovami: „Ak sa budeš učiť, zvládneš test. A pritom si sa učil a test si nezvládol.“
| A | B | A ⇒ B | B′ | A ∧ B′ | celý výrok |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Riešený príklad 3: sylogizmus s tromi výrokmi
Je výrok ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) tautológia?
Slovami: „Ak zaspím, zmeškám autobus. Ak zmeškám autobus, prídem neskoro. Teda ak zaspím, prídem neskoro.“
Označme P = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C).
| A | B | C | A ⇒ B | B ⇒ C | P | A ⇒ C | P ⇒ (A ⇒ C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tautológie, ktoré treba poznať
| Tautológia | Názov | Slovami |
|---|---|---|
| A ∨ A′ | zákon vylúčenia tretieho | buď platí, alebo neplatí |
| (A ∧ A′)′ | zákon sporu | nemôže platiť aj neplatiť |
| (A ∧ B)′ ⇔ (A′ ∨ B′) | De Morganov zákon | „nie oboje“ = „aspoň jedno nie“ |
| (A ∨ B)′ ⇔ (A′ ∧ B′) | De Morganov zákon | „ani jedno“ = „jedno nie a druhé tiež nie“ |
| (A ⇒ B) ⇔ (B′ ⇒ A′) | obmena implikácie | otoč a zneguj |
| (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B | modus ponens (pravidlo odlúčenia) | platí predpoklad, teda platí záver |
| ((A ⇒ B) ∧ B′) ⇒ A′ | modus tollens | neplatí záver, teda neplatí predpoklad |
| ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) | sylogizmus (tranzitivita implikácie) | reťaz implikácií |
Tautológiám tohto typu hovoríme aj logické zákony. Nemusíš ich biflovať naspamäť. Stačí pochopiť, prečo platia. Každý z nich si vieš kedykoľvek overiť tabuľkou.
Usudzuj ako Sherlock
Detektív nehádže domnienky. Ťahá závery, ktoré sú neprestrelné. A tie sú postavené práve na tautológiách.
Modus ponens — platí predpoklad, teda platí záver:Modus tollens — neplatí záver, teda neplatí predpoklad. Toto je obľúbený trik Sherlocka Holmesa:Ak má návštevník na topánkach červenú hlinu, bol v parku pri rieke. Návštevník má na topánkach červenú hlinu. Teda bol v parku pri rieke.
Ak by v noci do stajne prišiel cudzí človek, pes by štekal. Pes v noci neštekal. Teda neprišiel nikto cudzí.
Holmes z toho usúdil, že zlodej bol niekto, koho pes poznal. Všimni si: dôležitá stopa bola vec, ktorá sa nestala.
Sylogizmus — reťaz:Ak zlodej prišiel cez záhradu, má zablatené topánky. Ak má zablatené topánky, nechal stopy na koberci. Teda ak zlodej prišiel cez záhradu, na koberci sú stopy.
💡 Modus tollens je vlastne obmena implikácie v praxi. Viac o obmene nájdeš v článku Implikácia, obrátená implikácia a obmena.
Logická ekvivalencia
Keď je ekvivalencia X ⇔ Y tautológia, výroky X a Y sú logicky ekvivalentné. Vždy majú rovnakú pravdivosť. Preto môžeš jeden nahradiť druhým, napríklad implikáciu jej obmenou.
V tabuľke to spoznáš ľahko: stĺpce pre X a Y sú v každom riadku rovnaké.
Overíme De Morganov zákon (A ∧ B)′ ⇔ (A′ ∨ B′):
| A | B | A ∧ B | (A ∧ B)′ | A′ | B′ | A′ ∨ B′ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Stĺpce (A ∧ B)′ a A′ ∨ B′ sú rovnaké, takže ekvivalencia je tautológia.
Slovami:
- „Nie je pravda, že mám čas aj peniaze.“
- „Nemám čas alebo nemám peniaze.“
Obe vety hovoria to isté.
⚠️ Častá chyba: (A ∧ B)′ nie je A′ ∧ B′. „Nie je pravda, že mám čas aj peniaze“ neznamená „nemám čas a nemám peniaze“. Možno mi chýba len jedno.
Častý omyl: potvrdenie záveru
Na sociálnych sieťach nájdeš takéto úvahy každý deň:
Ak je produkt kvalitný, má veľa pozitívnych recenzií. Tento produkt má veľa pozitívnych recenzií. Teda je kvalitný.
Znie to rozumne. Lenže recenzie mohli byť kúpené. Úvaha má tvar:
((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A
Vyzerá ako modus ponens, ale nie je tautológia. Overme to.
Riešený príklad 4: úvaha, ktorá len vyzerá správne
Slovami: „Ak prší, je mokrá cesta. Cesta je mokrá. Teda prší.“
| A | B | A ⇒ B | (A ⇒ B) ∧ B | ((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
⚠️ Z pravdivého záveru sa nedá usúdiť, že platí predpoklad.
Jeho dvojča je popretie predpokladu: „Ak prší, je mokrá cesta. Neprší. Teda cesta nie je mokrá.“ Ani toto nie je tautológia. Kropiaci voz opäť pokazí celú úvahu.
| Úvaha | Tvar | Správna? |
|---|---|---|
| modus ponens | A ⇒ B, platí A, teda B | áno |
| modus tollens | A ⇒ B, neplatí B, teda neplatí A | áno |
| potvrdenie záveru | A ⇒ B, platí B, teda A | nie |
| popretie predpokladu | A ⇒ B, neplatí A, teda neplatí B | nie |
Najčastejšie chyby
- Skontroluješ jeden alebo dva riadky a vyhlásiš výrok za tautológiu. Musíš overiť všetky riadky.
- Myslíš si, že čo nie je tautológia, je kontradikcia. Väčšina výrokov nie je ani jedno.
- Zabudneš riadok. Pre 2 výroky sú 4 riadky, pre 3 výroky 8.
- Implikáciu s nepravdivým predpokladom označíš ako nepravdivú. Pritom 0 ⇒ 0 aj 0 ⇒ 1 je 1.
- Negáciu konjunkcie robíš „po kúskoch“: (A ∧ B)′ ako A′ ∧ B′. Správne je A′ ∨ B′.
- Potvrdenie záveru alebo popretie predpokladu považuješ za správnu úvahu.
V skratke
- Tautológia je pravdivá vždy, v poslednom stĺpci tabuľky sú samé 1.
- Kontradikcia je nepravdivá vždy, v poslednom stĺpci sú samé 0.
- Väčšina výrokov nie je ani jedno. Na vyvrátenie tautológie stačí jeden riadok s 0.
- Tautológie sú logické zákony: De Morgan, obmena, modus ponens, modus tollens, sylogizmus.
- Ak je X ⇔ Y tautológia, X a Y sú logicky ekvivalentné a môžeš ich zamieňať.
- „Platí B, teda platí A“ nie je správna úvaha.
Skús si sám
Rozhodni, či je výrok tautológia, kontradikcia, alebo ani jedno. Pomôž si tabuľkou.
- A ⇒ A („Ak som hladný, som hladný.“)
- A ⇔ A′
- A ⇒ (A ∨ B) („Ak mám psa, mám psa alebo mačku.“)
- (A ∨ B) ⇒ A
- (A ∨ B) ∧ A′ ∧ B′
- ((A ⇒ B) ∧ A′) ⇒ B′ („Ak prší, je mokrá cesta. Neprší. Teda cesta nie je mokrá.“)
Riešenia
- Tautológia. 1 ⇒ 1 = 1 aj 0 ⇒ 0 = 1.
- Kontradikcia. A a A′ majú vždy opačnú hodnotu, takže ekvivalencia nikdy neplatí.
- Tautológia. Ak A = 1, aj A ∨ B = 1. Ak A = 0, implikácia platí automaticky.
- Ani jedno. Pre A = 0, B = 1 vyjde 1 ⇒ 0 = 0, pre A = 1 vyjde 1.
- Kontradikcia. A′ ∧ B′ platí len pre A = B = 0, ale vtedy A ∨ B = 0.
- Ani jedno. Pre A = 0, B = 1 vyjde (1 ∧ 1) ⇒ 0 = 0, v ostatných riadkoch 1. Je to popretie predpokladu.
Precvič si
👉 Ďalší článok: Úsudky a hypotézy