Úsudky a hypotézy

Scrolluješ sociálne siete a vyskočí reklama: „Všetci úspešní ľudia vstávajú o piatej. Vstávaj o piatej a budeš úspešný!“ Znie to presvedčivo. Ale naozaj z toho niečo vyplýva?

Iný príspevok: „Ak je reštaurácia dobrá, stojí pred ňou rad. Pred touto reštauráciou stojí rad. Teda je dobrá.“ Zase úvaha, ktorá vyzerá logicky. A zase je v nej diera.

Detektív v seriáli robí to isté, len správne. Z niekoľkých faktov vyvodí záver, ktorý musí platiť. V tomto článku sa naučíš rozoznať správny úsudok od chybného. A uvidíš, ako matematici pracujú s hypotézami, teda s tvrdeniami, ktoré tušia, ale ešte ich nedokázali.

---

Obsah

• Čo je úsudok
• Kedy je úsudok správny
• Správny úsudok a pravdivý záver nie sú to isté
• Tvary úsudkov
• Ako overiť úsudok tabuľkou
• Úsudky so slovami všetci a niektorí
• Hypotéza
• Hypotézy, ktoré padli
• Hypotézy, ktoré platia
• Slávne nevyriešené hypotézy
• Riešené príklady
• Najčastejšie chyby
• V skratke
• Skús si sám
• Riešenia
• Precvič si

---

Čo je úsudok

Úsudok je úvaha, pri ktorej z niekoľkých výrokov odvodíme nový výrok.

• Výroky, z ktorých vychádzame, sú predpoklady (premisy).
• Výrok, ku ktorému dôjdeme, je záver.

Úsudok zapisujeme pod seba. Predpoklady idú nad čiaru, záver pod ňu:

Ak prší, je mokrá cesta.

Prší.

─────────────

Teda je mokrá cesta.

Označme A = „prší“ a B = „je mokrá cesta“. Potom má úsudok tvar: predpoklady A ⇒ B a A, záver B.

💡 Slovo „teda“ (alebo „preto“, „z toho vyplýva“) ti prezradí, kde začína záver.

---

Kedy je úsudok správny

Úsudok je správny (platný), keď záver vyplýva z predpokladov vždy. Inými slovami: ak sú všetky predpoklady pravdivé, záver musí byť pravdivý tiež. Bez výnimky.

Dá sa to povedať aj jazykom tautológií. Úsudok s predpokladmi P1, P2 a záverom Z je správny práve vtedy, keď výrok

(P1 ∧ P2) ⇒ Z

je tautológia. Čo je tautológia, nájdeš v článku Tautológia a kontradikcia.

Úsudok je chybný, keď existuje aspoň jedna situácia, v ktorej sú všetky predpoklady pravdivé a záver nepravdivý. Takej situácii hovoríme kontrapríklad k úsudku.

---

Správny úsudok a pravdivý záver nie sú to isté

Správnosť úsudku hovorí o tvare úvahy, nie o tom, či je záver pravdivý. To je prekvapivé, tak sa na to pozrime.

Správny úsudok, nepravdivý záver:

Všetky mačky vedia lietať.

Mica je mačka.

─────────────

Teda Mica vie lietať.

Úvaha je postavená bezchybne. Ak by všetky mačky lietali, Mica by lietala tiež. Problém je v prvom predpoklade: ten je nepravdivý. Správny úsudok zaručuje pravdivý záver len vtedy, keď sú pravdivé predpoklady.

Chybný úsudok, pravdivý záver:

Ak je číslo deliteľné šiestimi, je párne.

Číslo 12 je párne.

─────────────

Teda 12 je deliteľné šiestimi.

Záver náhodou platí. Úvaha je však chybná. Rovnakým postupom by si „dokázal“, že 8 je deliteľné šiestimi. Pravdivý záver chybný úsudok nezachráni.

⚠️ Keď niekto napadne tvoj záver, máš dve možnosti obrany: ukázať, že predpoklady platia, a ukázať, že úvaha je správna. Potrebuješ obe.

---

Tvary úsudkov

Niektoré tvary úsudkov sa opakujú stále dokola. Oplatí sa ich poznať. Negáciu píšeme s čiarkou, napríklad A′ = „neplatí A“.

Prečo sú posledné tri chybné? Lebo vieme nájsť kontrapríklad:

• Potvrdenie záveru: neprší, ale je mokro, lebo išiel kropiaci voz (A = 0, B = 1).
• Popretie predpokladu: tá istá situácia. Neprší, a predsa je mokro.
• Buď–alebo: môžeš mať hlad aj smäd naraz (A = 1, B = 1). Logické „alebo“ pripúšťa obe možnosti.

💡 Modus tollens je obľúbený nástroj detektívov. Sherlock Holmes raz usúdil: „Ak by prišiel cudzí človek, pes by štekal. Pes neštekal. Teda neprišiel nikto cudzí.“

---

Ako overiť úsudok tabuľkou

Postup je jednoduchý:

• Urob tabuľku pravdivosti pre všetky predpoklady a záver.
• Nájdi riadky, kde sú všetky predpoklady 1.
• Ak má záver v každom takom riadku 1, úsudok je správny.
• Ak je v niektorom takom riadku záver 0, úsudok je chybný. Ten riadok je kontrapríklad.

Overíme naraz modus tollens a popretie predpokladu. Oba používajú rovnaké stĺpce.

Modus tollens (predpoklady A ⇒ B a B′, záver A′): oba predpoklady sú 1 len v štvrtom riadku. Tam je A′ = 1. Úsudok je správny. Popretie predpokladu (predpoklady A ⇒ B a A′, záver B′): oba predpoklady sú 1 v treťom aj štvrtom riadku. V treťom riadku je B′ = 0. Úsudok je chybný a tretí riadok je kontrapríklad: neprší, ale je mokro.

💡 Nemusíš vypisovať celý veľký výrok (P1 ∧ P2) ⇒ Z. Stačí hľadať „zlý riadok“: predpoklady 1, záver 0.

---

Úsudky so slovami všetci a niektorí

Veľa úsudkov v bežnom živote neobsahuje „ak, tak“, ale slová ako všetci, každý, niektorí. Pomôže si ich predstaviť ako skupiny (množiny).

Druhý úsudok je vlastne potvrdenie záveru v prestrojení. „Všetky psy sú cicavce“ znamená „ak je niečo pes, je to cicavec“.

Pri treťom úsudku si predstav triedu, kde päť žiakov hrá futbal ako útočníci. Brankármi sú dospelí hráči z mestského klubu. Oba predpoklady platia, záver nie.

⚠️ Dve vety so slovom „niektorí“ za sebou takmer nikdy nedávajú istý záver. Skupiny sa nemusia prekrývať tam, kde by si chcel.

Viac o slovách „všetci“ a „niektorí“ nájdeš v článku Kvantifikátory.

---

Hypotéza

Hypotéza je tvrdenie, ktoré na základe pozorovaní tušíme, ale ešte sme ho nedokázali.

Matematici hypotézy nevymýšľajú len tak. Väčšinou si všimnú vzor v príkladoch. Skús to aj ty:

Výsledky sú 1, 4, 9, 16, 25. Samé druhé mocniny! Vyslovíme hypotézu:

Súčet prvých n nepárnych čísel je n².

Čo ďalej? Hypotéza má len dva možné osudy:

⚠️ Päť príkladov, ani päť miliónov príkladov, nie je dôkaz. Ako sa robia dôkazy a kontrapríklady, nájdeš v článku Kontrapríklad a dôkazy.

Táto hypotéza mimochodom platí. Predstav si štvorec zo žetónov. Zo štvorca 2 × 2 urobíš štvorec 3 × 3 tak, že pridáš „rožok“ z 5 žetónov. Zo štvorca 3 × 3 urobíš 4 × 4 pridaním 7 žetónov. Každý ďalší rožok má o 2 žetóny viac, teda ďalšie nepárne číslo.

---

Hypotézy, ktoré padli

Niektoré hypotézy vyzerajú neprestrelne. Fungujú desiatky ráz za sebou a potom zrazu nie.

Eulerov mnohočlen n² + n + 41. Dosaď n = 1, 2, 3, …

Pre n = 1 až 39 vždy vyjde prvočíslo. Hypotéza „vždy vyjde prvočíslo“ by vyzerala veľmi silno. A pri n = 40 padne: 1 600 + 40 + 41 = 1 681 = 41 · 41.

Čísla 2ⁿ − 1. Pre n = 2 vyjde 3, pre n = 3 vyjde 7. Obe sú prvočísla. Lákavá hypotéza: „2ⁿ − 1 je vždy prvočíslo.“ Lenže pre n = 4 vyjde 2⁴ − 1 = 15 = 3 · 5. Prvočísla a 2n + 1. Hypotéza: „Ak je n prvočíslo, tak 2n + 1 je prvočíslo.“

Tri úspechy, potom kontrapríklad n = 7.

💡 Keď testuješ hypotézu, neskúšaj len prvé dve-tri čísla. Skús aj väčšie a „nepohodlné“ prípady.

---

Hypotézy, ktoré platia

Niektoré hypotézy sa dajú dokázať aj bez zložitej matematiky. Stačí zapísať čísla všeobecne.

Súčet troch po sebe idúcich čísel je deliteľný tromi. Skúška: 4 + 5 + 6 = 15, 10 + 11 + 12 = 33. Dôkaz: čísla zapíšeme ako n, n + 1, n + 2. Ich súčet je

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 · (n + 1).

Výsledok je trojnásobok celého čísla, teda je deliteľný tromi. Hypotéza sa stala vetou. ∎

Súčin dvoch po sebe idúcich čísel je párny. Skúška: 3 · 4 = 12, 7 · 8 = 56. Dôkaz: z dvoch po sebe idúcich čísel je jedno vždy párne. A keď násobíš párnym číslom, výsledok je párny. ∎ Veľká Fermatova veta. Okolo roku 1637 si Pierre de Fermat zapísal na okraj knihy: rovnica xⁿ + yⁿ = zⁿ nemá pre n > 2 riešenie v kladných celých číslach. Dodal, že má nádherný dôkaz, ale okraj je naň príliš úzky. Vyše 350 rokov to bola len hypotéza. Dokázal ju až Andrew Wiles v roku 1994. Až potom sa z nej naozaj stala veta.

---

Slávne nevyriešené hypotézy

Niektoré hypotézy čakajú na dôkaz alebo kontrapríklad dodnes. Počítače ich overili pre obrovské čísla, a predsa to nestačí.

Keby si niektorú z nich dokázal alebo vyvrátil, zapísal by si sa do dejín matematiky.

---

Riešené príklady

Riešený príklad 1: výlet vlakom

Je úsudok správny?

Na výlet pôjdeme vlakom alebo autobusom.

Pôjdeme vlakom.

─────────────

Teda nepôjdeme autobusom.

Označme A = „pôjdeme vlakom“, B = „pôjdeme autobusom“. Predpoklady sú A ∨ B a A, záver B′.

Oba predpoklady (A ∨ B a A) sú 1 v prvom a druhom riadku. V prvom riadku je záver B′ = 0.

Záver: úsudok je chybný. Kontrapríklad: časť cesty pôjdete vlakom a časť autobusom. Logické „alebo“ to dovoľuje.

Porovnaj so správnym vylučovacím úsudkom: „Pôjdeme vlakom alebo autobusom. Nepôjdeme vlakom. Teda pôjdeme autobusom.“ Predpoklady A ∨ B a A′ sú 1 len v treťom riadku a tam B = 1.

Riešený príklad 2: kopačky

Je úsudok správny?

Všetci hráči nášho tímu majú kopačky značky X.

Tomáš má kopačky značky X.

─────────────

Teda Tomáš hrá v našom tíme.

Predstav si skupiny. Hráči tímu sú celí vo vnútri skupiny „majú kopačky X“. Tomáš je v tej väčšej skupine. Nikde však nie je napísané, že je aj v tej menšej.

Záver: úsudok je chybný. Kontrapríklad: Tomáš hrá za iný klub a kúpil si rovnaké kopačky. Ide o potvrdenie záveru.

Správna verzia by znela: „Všetci hráči nášho tímu majú kopačky X. Tomáš hrá v našom tíme. Teda má kopačky X.“

Riešený príklad 3: hypotéza s číslom 11

Hypotéza: „Pre každé prirodzené číslo n je n² − n + 11 prvočíslo.“

Skúsime niekoľko hodnôt:

Pre n = 1 až 10 vždy vyjde prvočíslo. Prečo skúsiť práve n = 11? Pre n = 11 sú všetky tri členy deliteľné jedenástimi: 121 − 11 + 11 = 121.

Záver: hypotéza je vyvrátená, kontrapríklad je n = 11.

Riešený príklad 4: rozdiel štvorcov

Hypotéza: „Rozdiel druhých mocnín dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel je nepárny.“

Skúška: 3² − 2² = 5, 7² − 6² = 13, 10² − 9² = 19. Zatiaľ sedí. Teraz dôkaz. Čísla zapíšeme ako n a n + 1:

(n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1.

Číslo 2n + 1 je vždy nepárne.

Záver: hypotéza platí, stala sa z nej veta. ∎

---

Najčastejšie chyby

• Zamieňaš správnosť úsudku s pravdivosťou záveru. Správny úsudok s nepravdivým predpokladom môže dať nepravdivý záver.
• Myslíš si, že keď záver platí, úvaha bola dobrá. Pravdivý záver chybný úsudok nezachráni.
• Používaš potvrdenie záveru: „A ⇒ B, platí B, teda platí A.“
• Používaš popretie predpokladu: „A ⇒ B, neplatí A, teda neplatí B.“
• Čítaš „alebo“ ako „buď–alebo“. V logike A ∨ B pripúšťa aj obe možnosti naraz.
• Považuješ hypotézu za dokázanú, lebo funguje na mnohých príkladoch. Spomeň si na n² + n + 41.
• Kontrapríklad hľadáš len medzi malými číslami a vzdáš to príliš skoro.

---

V skratke

• Úsudok má predpoklady a záver. Je správny, ak záver vyplýva z predpokladov vždy.
• Úsudok je správny práve vtedy, keď (P1 ∧ P2) ⇒ Z je tautológia.
• Chybný úsudok odhalíš riadkom tabuľky, kde sú predpoklady 1 a záver 0.
• Správne tvary: modus ponens, modus tollens, vylučovací úsudok, reťazenie.
• Chybné tvary: potvrdenie záveru, popretie predpokladu, „alebo“ čítané ako „buď–alebo“.
• Hypotéza je tušené, nedokázané tvrdenie. Dôkazom sa z nej stane veta, kontrapríkladom padne.

---

Skús si sám

1. Je úsudok správny? „Ak mám horúčku, som chorý. Nemám horúčku. Teda nie som chorý.“
2. Je úsudok správny? „Ak sa naučíš slovíčka, dostaneš jednotku. Nedostal si jednotku. Teda si sa nenaučil slovíčka.“
3. Je úsudok správny? „Dnes je pondelok alebo utorok. Nie je pondelok. Teda je utorok.“
4. Je úsudok správny? „Všetky štvorce sú obdĺžniky. Tento útvar je obdĺžnik. Teda je to štvorec.“
5. Over hypotézu: „Pre každé prirodzené číslo n je 6n − 1 prvočíslo.“
6. Dokáž hypotézu: „Súčet dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel je nepárny.“

---

Riešenia

1. Chybný. Je to popretie predpokladu. Kontrapríklad: máš chrípku bez horúčky.
2. Správny. Je to modus tollens. Či je prvý predpoklad pravdivý, je iná otázka. Tvar úvahy je v poriadku.
3. Správny. Je to vylučovací úsudok: A ∨ B, A′, teda B.
4. Chybný. Je to potvrdenie záveru. Kontrapríklad: obdĺžnik so stranami 2 cm a 5 cm.
5. Vyvrátená. Pre n = 1 až 5 vyjde 5, 11, 17, 23, 29, samé prvočísla. Pre n = 6 vyjde 35 = 5 · 7.
6. Platí. Čísla zapíšeme ako n a n + 1. Súčet je n + (n + 1) = 2n + 1, a to je nepárne číslo. ∎

---

Precvič si

• 🧠 Je úsudok správny?
• 🔬 Hypotéza: platí, alebo nie?
• 🔍 Nájdi kontrapríklad

👉 Ďalší článok: Kvantifikátory