Výrok a výroková logika — úvod

Kamarát ti v chate napíše: „Som na ceste, o päť minút som tam.“ O dvadsať minút ešte stále čakáš. Jeho správa niečo tvrdila — a ukázalo sa, že to nebola pravda.

Iná správa: „Prídeš večer von?“ Tá nič netvrdí. Nemá zmysel sa pýtať, či je pravdivá. Môžeš na ňu iba odpovedať.

Presne tento rozdiel je jadrom výrokovej logiky. Niektoré vety tvrdia niečo, čo platí alebo neplatí. Iné sa pýtajú, prikazujú alebo vyjadrujú pocit. Matematika pracuje len s tou prvou skupinou — s výrokmi.

Príklad z matematiky: „Číslo 91 je prvočíslo.“ Vyzerá to tak, ale neplatí to, lebo 91 = 7 · 13. Je to teda nepravdivý výrok. Výroková logika skúma, ako sa výroky skladajú, ako sa negujú a ako z nich správne usudzovať.

---

Obsah

• Čo je výrok
• Čo výrokom nie je
• Výroková forma — veta s premennou
• Hypotéza — výrok, o ktorom ešte nevieme
• Pravdivostná hodnota: 1 a 0
• Najčastejšie chyby
• V skratke
• Skús si sám
• Riešenia
• Čo ťa v téme čaká
• Precvič si

---

Čo je výrok

Výrok je oznamovacia veta, o ktorej má zmysel povedať, či je pravdivá, alebo nepravdivá. Musí platiť práve jedno z toho.

Predstav si súdnu sieň. Svedok povie: „Obžalovaný bol o deviatej večer doma.“ Sudca zatiaľ nevie, či je to pravda. Ale vie, že to pravda buď je, alebo nie je. Tretia možnosť neexistuje. Presne takto sa správa výrok.

Všimni si dve veci:

• Aj nepravdivý výrok je výrok. Rozhoduje to, či veta niečo tvrdí, nie to, či má pravdu.
• Výrok nemusí byť napísaný slovami. Zápis „7 < 3“ sa číta „sedem je menšie ako tri“ — a to je tvrdenie.

💡 Rýchly test: skús pred vetu dať „Je pravda, že …“. Ak to dáva zmysel, veta je pravdepodobne výrok. „Je pravda, že 5 · 4 = 25?“ dáva zmysel (odpoveď: nie). „Je pravda, že prídeš večer von?“ znie divne — otázka nie je výrok.

Riešený príklad 1: výrok, alebo nie?

Rozhodni, či ide o výrok. Ak áno, urči, či je pravdivý.

a) „Číslo 2 je jediné párne prvočíslo.“

• Veta niečo tvrdí, je to výrok.
• Párne čísla väčšie ako 2 sú deliteľné dvomi, takže majú aspoň troch deliteľov (1, 2 a samy seba). Prvočíslami nie sú.
• Výrok je pravdivý.

b) „Koľko je hodín?“

• Je to otázka. Nič netvrdí, nie je to výrok.

c) „Súčet veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka je 180°.“

• Tvrdenie, ktoré poznáš z geometrie. Výrok, pravdivý.

d) „Číslo 0 je kladné.“

• Tvrdenie, teda výrok. Nula však nie je kladná ani záporná, preto je výrok nepravdivý.

---

Čo výrokom nie je

Väčšina viet, ktoré denne povieš alebo napíšeš, výrokmi nie sú. Pozri sa prečo.

Pri názoroch buď opatrný. Influencerka v reklame povie: „Tento krém je najlepší na svete.“ Znie to ako tvrdenie, ale nedá sa to overiť — čo vlastne znamená „najlepší“? Je to názor, nie výrok.

Keď však povie: „Tento krém obsahuje 2 % kyseliny salicylovej,“ to sa overiť dá. Stačí laboratórium. To už je výrok.

💡 Bonus pre zvedavých: veta „Táto veta je nepravdivá.“ výrokom nie je. Keby bola pravdivá, platilo by, čo hovorí — teda by bola nepravdivá. Keby bola nepravdivá, hovorila by pravdu. Nedá sa jej priradiť ani jedna hodnota. Volá sa to paradox luhára a logici si nad ním lámu hlavu už vyše dvetisíc rokov.

---

Výroková forma — veta s premennou

Pozri sa na vetu „x + 3 = 7“. Je pravdivá? Záleží na tom, čo je x.

Takejto vete hovoríme výroková forma. Kým nevieme, čo je x, výrokom nie je. Je to akoby „formulár“ s prázdnym políčkom — výrokom sa stane, až keď ho vyplníme.

Výrokové formy nájdeš aj mimo matematiky:

• „On má 16 rokov.“ — kto je „on“? Pre tvojho spolužiaka možno áno, pre učiteľa asi nie.
• „Tento mesiac má 31 dní.“ — pre január áno, pre apríl nie.

Výroková forma sa stane výrokom dvoma spôsobmi.

1. Dosadíme konkrétnu hodnotu.

• „4 + 3 = 7“ je pravdivý výrok.
• „Január má 31 dní.“ je pravdivý výrok.

2. Doplníme kvantifikátor — slovo „pre každé“ alebo „existuje“.

• „Existuje prirodzené číslo x, pre ktoré x + 3 = 7.“ — pravdivý výrok (stačí x = 4).
• „Pre každé prirodzené číslo x platí x + 3 = 7.“ — nepravdivý výrok (napríklad x = 5 nevyhovuje).

⚠️ Premenná vo vete ešte neznamená výrokovú formu. „Pre každé reálne číslo x platí x² ≥ 0.“ je výrok, lebo premennú „viažu“ slová „pre každé“. Symbolmi sa to zapisuje ∀x ∈ ℝ: x² ≥ 0. Je to pravdivý výrok — druhá mocnina žiadneho reálneho čísla nie je záporná.

Kvantifikátory nájdeš aj v reklamách. „Každý, kto pije náš nápoj, schudne.“ Je to výrok — a na jeho vyvrátenie stačí jediný človek, ktorý nápoj pil a neschudol. Viac o tom v článku o kvantifikátoroch.

Riešený príklad 2: z výrokovej formy výrok

Máme výrokovú formu V(n): „n je deliteľné tromi“, kde n je prirodzené číslo. Urob z nej štyri výroky a urči ich pravdivosť.

Krok 1 — dosadíme n = 6. „6 je deliteľné tromi.“ Platí, lebo 6 = 2 · 3. Výrok je pravdivý. Krok 2 — dosadíme n = 7. „7 je deliteľné tromi.“ Neplatí, 7 : 3 má zvyšok 1. Výrok je nepravdivý. Krok 3 — pridáme „existuje“. „Existuje prirodzené číslo n, ktoré je deliteľné tromi.“ Stačí nájsť jedno, napríklad n = 6. Výrok je pravdivý. Krok 4 — pridáme „pre každé“. „Každé prirodzené číslo n je deliteľné tromi.“ Stačí nájsť jedno, ktoré nevyhovuje — napríklad n = 7. Výrok je nepravdivý.

💡 Pri „existuje“ hľadáš jedno číslo, ktoré vyhovuje. Pri „pre každé“ hľadáš jedno číslo, ktoré nevyhovuje — ak ho nájdeš, výrok padá.

---

Hypotéza — výrok, o ktorom ešte nevieme

Niektoré výroky sú buď pravdivé, alebo nepravdivé, len zatiaľ nikto nevie, ktoré z toho. Volajú sa hypotézy.

Ako v hre „pravda alebo lož“: kamarát povie niečo o sebe a ty to nevieš overiť. Jeho veta je aj tak buď pravdivá, alebo nie — len ty to ešte nevieš.

Najslávnejšia hypotéza zo sveta čísel:

Každé párne číslo väčšie ako 2 sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísel.

Toto je Goldbachova hypotéza. Christian Goldbach ju sformuloval v liste Leonhardovi Eulerovi v roku 1742. Počítače ju overili pre všetky párne čísla až po 4 · 10¹⁸. Dôkaz však dodnes nikto nenašiel.

Hypotézy niekedy dostanú odpoveď. Pierre de Fermat okolo roku 1637 napísal, že rovnica xⁿ + yⁿ = zⁿ nemá pre n > 2 riešenie v kladných celých číslach. Dokázal to až Andrew Wiles v roku 1994 — po vyše 350 rokoch. Odvtedy hovoríme o Veľkej Fermatovej vete.

⚠️ Hypotéza je stále výrok. To, že jej pravdivosť nepoznáme, neznamená, že žiadnu nemá.

Riešený príklad 3: overenie nie je dôkaz

Over Goldbachovu hypotézu pre čísla 30 a 50. Dokázal si tým hypotézu?

Krok 1 — číslo 30. Skúšame prvočísla od najmenšieho: 30 − 3 = 27 (nie je prvočíslo, 27 = 3 · 9), 30 − 7 = 23 (prvočíslo). Teda 30 = 7 + 23. Ďalšie možnosti: 11 + 19, 13 + 17. Krok 2 — číslo 50. 50 − 3 = 47 (prvočíslo). Teda 50 = 3 + 47. Ďalšie možnosti: 7 + 43, 13 + 37, 19 + 31. Krok 3 — záver. Pre 30 a 50 hypotéza platí. Ale párnych čísel je nekonečne veľa a my sme overili dve. Ani miliarda overených príkladov nie je dôkaz — vždy môže prísť číslo, ktoré nevyhovuje. Hypotézu sme nedokázali.

---

Pravdivostná hodnota: 1 a 0

Písať stále „pravdivý“ a „nepravdivý“ je zdĺhavé. Preto pravdivosť výroku zapisujeme číslom:

• 1 — výrok je pravdivý,
• 0 — výrok je nepravdivý.

Toto číslo sa volá pravdivostná hodnota výroku. Je to rovnaký princíp, na akom funguje tvoj mobil: počítač vo vnútri pracuje len s jednotkami a nulami.

Výroky označujeme veľkými písmenami, aby sme ich nemuseli stále vypisovať:

Z jednoduchých výrokov neskôr poskladáme zložitejšie. Napríklad negácia A′ („Číslo 15 nie je párne.“) má opačnú hodnotu ako A, teda 1. Ako sa počíta hodnota zložených výrokov, uvidíš v článku o logických spojkách.

💡 Jednotka a nula tu neznamenajú množstvo. Sú to len skratky pre „platí“ a „neplatí“ — nič s nimi nesčitujeme.

---

Najčastejšie chyby

• „Nepravdivá veta nie je výrok.“ Omyl. „5 · 4 = 25“ je výrok s hodnotou 0.
• Považovať „x + 3 = 7“ za výrok. Kým nevieme, čo je x, je to výroková forma.
• Považovať každú vetu s premennou za výrokovú formu. „Pre každé reálne x platí x² ≥ 0“ je výrok — premennú viaže kvantifikátor.
• Hypotézu vyhlásiť za „nie výrok“. Hypotéza je výrok, len ešte nepoznáme jeho hodnotu.
• Názor považovať za výrok. „Táto pizza je vynikajúca“ sa nedá objektívne overiť.
• Myslieť si, že pár príkladov niečo dokazuje. Overenie pre 30 a 50 nedokazuje tvrdenie pre všetky párne čísla.

---

V skratke

• Výrok je oznamovacia veta, ktorá je buď pravdivá, alebo nepravdivá — práve jedno z toho.
• Otázky, rozkazy, priania a názory nie sú výroky.
• Výroková forma obsahuje premennú. Výrokom sa stane dosadením hodnoty alebo pridaním kvantifikátora.
• Hypotéza je výrok, ktorého pravdivosť zatiaľ nikto nepozná (napríklad Goldbachova hypotéza).
• Pravdivý výrok má hodnotu 1, nepravdivý hodnotu 0.

---

Skús si sám

Pri každej vete rozhodni: je to výrok, výroková forma, alebo ani jedno? Ak je to výrok, urči jeho hodnotu (1 alebo 0).

1. „Odpíš si domácu úlohu.“
2. „Číslo 1 je prvočíslo.“
3. „2x + 1 = 9“
4. „Pre každé prirodzené číslo n platí n + 1 > n.“
5. „Existuje prirodzené číslo, ktoré je zároveň párne aj nepárne.“
6. „−3 > −1“

---

Riešenia

1. Nie je výrok — rozkaz nič netvrdí.
2. Výrok, hodnota 0. Prvočíslo má práve dvoch deliteľov. Číslo 1 má iba jedného — samo seba.
3. Výroková forma. Pre x = 4 vznikne pravdivý výrok 2 · 4 + 1 = 9, pre iné x nepravdivý.
4. Výrok, hodnota 1. Premennú viaže „pre každé“. Pripočítaním jednotky sa číslo vždy zväčší.
5. Výrok, hodnota 0. Každé prirodzené číslo je buď párne, alebo nepárne, nikdy oboje.
6. Výrok, hodnota 0. Na číselnej osi leží −3 vľavo od −1, teda −3 < −1.

---

Čo ťa v téme čaká

1. 👉 Logické spojky a tabuľky pravdivosti — ako z jednoduchých výrokov poskladať zložitejšie.
2. 👉 Zložený výrok slovami — ako prečítať formulu ako bežnú vetu.
3. 👉 Tautológia a kontradikcia — výroky, ktoré platia vždy alebo nikdy.
4. 👉 Úsudky a hypotézy — kedy záver naozaj vyplýva a čo je hypotéza.
5. 👉 Kvantifikátory — každý, existuje, aspoň, najviac.
6. 👉 Negácia výrokov a kvantifikátory — ako správne povedať opak.
7. 👉 Implikácia, obrátená implikácia a obmena — „ak …, tak …“ a jeho príbuzní.
8. 👉 Kontrapríklad a dôkazy — ako tvrdenie vyvrátiť a ako ho dokázať.

---

Precvič si

• 🔍 Je to výrok?
• 🧮 Pravdivosť zloženého výroku