Ráno vyjdeš von a cesta je celá mokrá. „Aha, v noci pršalo,“ povieš si. Lenže potom zbadáš kropiace auto, ktoré práve odbočuje za roh. Nepršalo ani kvapka.
Kde sa stala chyba? Pravda je: ak prší, tak je cesta mokrá. Ty si to však otočil na „ak je cesta mokrá, tak pršalo“. A to už pravda byť nemusí.
Presne takéto „ak …, tak …“ vety sú v matematike všade. Ak je číslo deliteľné šiestimi, tak je deliteľné tromi. Ak je trojuholník pravouhlý, tak platí Pytagorova veta. V tomto článku sa naučíš, ako sa takéto vety dajú otáčať a negovať — a ktoré z nových viet zostanú pravdivé.
Obsah
- Predpoklad a záver
- Postačujúca a nutná podmienka
- Obrátená implikácia
- Obmena implikácie
- Opačná implikácia
- Ktoré majú rovnakú pravdivosť
- Ekvivalencia — keď platia oba smery
- Riešené príklady
- Najčastejšie chyby
- V skratke
- Skús si sám
- Riešenia
- Precvič si
Predpoklad a záver
V implikácii A ⇒ B je A predpoklad a B záver. Čítame ju „ak A, tak B“ alebo „z A vyplýva B“.
Ak je prirodzené číslo n deliteľné číslom 6, tak je n deliteľné číslom 3.
- predpoklad A: n je deliteľné číslom 6,
- záver B: n je deliteľné číslom 3.
Táto implikácia je pravdivá. Každý násobok šiestich je aj násobkom troch: 6, 12, 18, 24 …
Implikácia je ako sľub. Mama povie: „Ak napíšeš písomku na jednotku, kúpim ti zmrzlinu.“ Kedy mama sľub porušila?
| Písomka na 1 (A) | Zmrzlina (B) | Sľub dodržaný? (A ⇒ B) |
|---|---|---|
| áno | áno | áno |
| áno | nie | nie — tu mama klamala |
| nie | áno | áno — kúpila ju aj tak, sľub tým neporušila |
| nie | nie | áno — podmienka nenastala |
💡 Implikácia je nepravdivá jedine vtedy, keď predpoklad platí a záver neplatí. Ak predpoklad neplatí, implikácia je pravdivá — o takom prípade nič nesľubuje.
Postačujúca a nutná podmienka
Ak platí A ⇒ B, hovoríme:
- A je postačujúca podmienka pre B — keď nastane A, B máš „zadarmo“,
- B je nutná podmienka pre A — bez B sa A nemôže stať.
Príklad zo života:
Ak máš platnú vstupenku, pustia ťa na koncert.
Vstupenka stačí na to, aby ťa pustili dnu. Nie je však nutná — dnu prejde aj zvukár, ochrankár či samotná kapela.
A opačný prípad:
Ak môžeš voliť v parlamentných voľbách, tak si plnoletý.
Plnoletosť je nutná — bez nej voliť nemôžeš. Nie je však postačujúca. Plnoletý turista z Talianska na Slovensku v parlamentných voľbách voliť nemôže.
Pri deliteľnosti to vyzerá takto:
- deliteľnosť číslom 6 stačí na deliteľnosť číslom 3,
- deliteľnosť číslom 3 je nutná na deliteľnosť číslom 6.
💡 Pomôcka: postačujúca podmienka stojí pred šípkou, nutná za šípkou. Šípka ukazuje od „stačí“ k „treba“.
Obrátená implikácia
Obrátená implikácia k A ⇒ B je B ⇒ A. Predpoklad a záver si len vymenia miesta.Ak je prirodzené číslo n deliteľné číslom 3, tak je n deliteľné číslom 6.
Táto implikácia je nepravdivá. Vyvráti ju číslo 9: je deliteľné tromi, ale nie šiestimi.
Presne toto sa stalo s mokrou cestou:
| Veta | Platí? |
|---|---|
| Ak prší, tak je cesta mokrá. | áno |
| Ak je cesta mokrá, tak prší. | nie — kropiace auto, roztopený sneh |
Podobne to pozná lekár. Ak máš angínu, bolí ťa hrdlo. Ale ak ťa bolí hrdlo, nemusíš mať angínu — možno si len včera dve hodiny kričal na zápase. Preto lekár nestanoví diagnózu z jediného príznaku.
⚠️ Z pravdivosti implikácie nevyplýva pravdivosť obrátenej implikácie. Toto je jedna z najčastejších chýb v usudzovaní — v matematike aj v bežnom živote.
Obmena implikácie
Obmena implikácie A ⇒ B je B′ ⇒ A′. Predpoklad a záver si vymenia miesta a oba sa znegujú.Ak nie je prirodzené číslo n deliteľné číslom 3, tak nie je n deliteľné číslom 6.
Obmena je pravdivá, rovnako ako pôvodná implikácia. Skús to so životom:
- implikácia: Ak prší, tak je cesta mokrá.
- obmena: Ak cesta nie je mokrá, tak neprší.
Obe vety hovoria to isté. Keď vidíš suchú cestu, vieš s istotou, že neprší. Nie je to náhoda — obmena má vždy rovnakú pravdivosť ako pôvodná implikácia.
💡 Obmenu si zapamätáš ako „otoč a zneguj“.
Opačná implikácia
Implikáciu A′ ⇒ B′ nazývame opačná. Zneguješ predpoklad aj záver, ale miesta nevymeníš.
Ak nie je prirodzené číslo n deliteľné číslom 6, tak nie je n deliteľné číslom 3.
Je nepravdivá — opäť ju vyvráti číslo 9. Nie je deliteľné šiestimi, a predsa je deliteľné tromi.
Zo života: „Ak neprší, tak cesta nie je mokrá.“ Kropiace auto ťa opäť vyvedie z omylu.
💡 Opačná implikácia je obmenou obrátenej implikácie. Preto má vždy rovnakú pravdivosť ako obrátená.
Ktoré majú rovnakú pravdivosť
Všetky štyri vety pekne vedľa seba:
| Názov | Zápis | Príklad | Pravdivosť |
|---|---|---|---|
| implikácia | A ⇒ B | Ak prší, cesta je mokrá. | — |
| obmena | B′ ⇒ A′ | Ak cesta nie je mokrá, neprší. | vždy rovnaká ako A ⇒ B |
| obrátená implikácia | B ⇒ A | Ak je cesta mokrá, prší. | môže byť iná |
| opačná implikácia | A′ ⇒ B′ | Ak neprší, cesta nie je mokrá. | vždy rovnaká ako B ⇒ A |
Že obmena naozaj vždy sedí, overíme tabuľkou pravdivostných hodnôt:
| A | B | A ⇒ B | B′ | A′ | B′ ⇒ A′ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tretí a posledný stĺpec sú rovnaké v každom riadku. Implikácia aj jej obmena sú nepravdivé v tej istej situácii: A platí a B neplatí.
Prečo je to užitočné? Keď je ťažké dokázať A ⇒ B priamo, môžeš dokázať jej obmenu. Tomu sa hovorí nepriamy dôkaz. Viac o ňom nájdeš v článku Kontrapríklad a dôkazy.
Ekvivalencia — keď platia oba smery
Niekedy platí implikácia aj obrátená implikácia. Vtedy to zapíšeme ako ekvivalenciu A ⇔ B a čítame „A práve vtedy, keď B“.
Prirodzené číslo n končí číslicou 0 práve vtedy, keď je n deliteľné číslom 10.
Platí oboje:
- číslo s nulou na konci je deliteľné desiatimi (napríklad 70 = 7 · 10),
- každý násobok desiatich končí nulou (10, 20, 30 …).
Vtedy je A nutnou aj postačujúcou podmienkou pre B. Inak povedané: A a B sú len dva rôzne spôsoby, ako povedať to isté.
Pri deliteľnosti šiestimi a tromi ekvivalencia neplatí — obrátená implikácia zlyhala na čísle 9.
💡 Dobré definície sú vždy ekvivalencie. „Trojuholník je rovnostranný práve vtedy, keď má všetky tri strany rovnako dlhé.“
Riešené príklady
Riešený príklad 1: štyri implikácie a kontrapríklady
Je daná pravdivá implikácia:
Ak je štvoruholník štvorec, tak má všetky štyri strany rovnako dlhé.
Vytvor obrátenú implikáciu, obmenu a opačnú implikáciu. Rozhodni o ich pravdivosti.
| Druh | Veta | Platí? |
|---|---|---|
| obrátená | Ak má štvoruholník všetky strany rovnako dlhé, tak je to štvorec. | nie |
| obmena | Ak štvoruholník nemá všetky strany rovnako dlhé, tak to nie je štvorec. | áno |
| opačná | Ak štvoruholník nie je štvorec, tak nemá všetky strany rovnako dlhé. | nie |
Obmenu nemusíš overovať zvlášť. Pôvodná implikácia je pravdivá, takže aj obmena je pravdivá.
Riešený príklad 2: nutná alebo postačujúca?
Výroky: A — „prirodzené číslo n je deliteľné číslom 4“, B — „n je párne“.
Krok 1. Platí A ⇒ B? Áno. Násobok štyroch je 4 · k = 2 · (2k), teda je párny. Krok 2. Platí B ⇒ A? Nie. Kontrapríklad: 6 je párne, ale deliteľné štyrmi nie je. Záver. Deliteľnosť štyrmi je postačujúca podmienka párnosti. Párnosť je nutná podmienka deliteľnosti štyrmi. Ekvivalencia to nie je.Rovnaké je to s vodičským preukazom. Úspešná skúška v autoškole je nutná podmienka na získanie vodičáku. Nie je postačujúca — potrebuješ aj dostatočný vek a lekársky posudok.
Riešený príklad 3: kedy z implikácie vznikne ekvivalencia
Porovnaj dve podobné vety.
a) Pre prirodzené číslo n: „Ak je n párne, tak je n² párne.“Implikácia platí: (2k)² = 4k² = 2 · (2k²).
Obrátená: „Ak je n² párne, tak je n párne.“ Priamo sa dokazuje ťažko. Dokážeme preto jej obmenu: „Ak n nie je párne, tak n² nie je párne.“ Nepárne číslo je 2k + 1 a (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1, čo je nepárne. Obmena platí, takže platí aj obrátená implikácia.
Platia oba smery, teda: n je párne ⇔ n² je párne.
b) Pre reálne číslo x: „Ak x > 2, tak x² > 4.“Implikácia platí: kladné číslo väčšie ako 2 má druhú mocninu väčšiu ako 4.
Obrátená: „Ak x² > 4, tak x > 2.“ Neplatí. Kontrapríklad: x = −3. Platí (−3)² = 9 > 4, ale −3 > 2 neplatí.
Tu ekvivalencia nie je. Záleží teda aj na tom, s akými číslami pracuješ.
Najčastejšie chyby
- Otočenie implikácie. „Cesta je mokrá, takže pršalo.“ Z A ⇒ B nevyplýva B ⇒ A.
- Obmena bez výmeny poradia. Ak len zneguješ obe časti a nevymeníš ich, nevznikne obmena, ale opačná implikácia A′ ⇒ B′.
- Obmena bez negácie. Ak časti len vymeníš, dostaneš obrátenú implikáciu, nie obmenu.
- Prehodená nutná a postačujúca podmienka. Postačujúca je predpoklad (pred šípkou), nutná je záver (za šípkou).
- Nesprávny kontrapríklad. Kontrapríklad na A ⇒ B musí spĺňať A a nespĺňať B. Číslo 5 nevyvráti „ak je n deliteľné šiestimi, tak je deliteľné tromi“ — nie je deliteľné šiestimi, takže o ňom implikácia nič netvrdí.
- Zlá negácia. Negácia vety „n je deliteľné číslom 6“ je „n nie je deliteľné číslom 6“, nie „n je deliteľné číslom 3“.
V skratke
- V implikácii A ⇒ B je A predpoklad (postačujúca podmienka) a B záver (nutná podmienka).
- Implikácia je nepravdivá jedine vtedy, keď A platí a B neplatí.
- Obmena B′ ⇒ A′ má vždy rovnakú pravdivosť ako A ⇒ B — na tom stojí nepriamy dôkaz.
- Obrátená B ⇒ A a opačná A′ ⇒ B′ majú rovnakú pravdivosť navzájom, ale s pôvodnou sa môžu líšiť.
- Keď platí A ⇒ B aj B ⇒ A, ide o ekvivalenciu A ⇔ B.
Skús si sám
1. Implikácia: „Ak je prirodzené číslo n deliteľné číslom 10, tak je n deliteľné číslom 5.“ Napíš obrátenú implikáciu, obmenu a opačnú implikáciu. Rozhodni o pravdivosti každej z nich. 2. „Ak je trojuholník rovnostranný, tak je rovnoramenný.“ Je pravdivá obrátená implikácia? Ak nie, nájdi kontrapríklad. 3. Je „prirodzené číslo končí číslicou 5“ nutná, alebo postačujúca podmienka pre „prirodzené číslo je deliteľné číslom 5“? 4. Doplň: „Byť plnoletý je … podmienka na to, aby si mohol voliť v parlamentných voľbách.“ Je to aj podmienka postačujúca? 5. Napíš obmenu implikácie „Ak je n² nepárne, tak je n nepárne.“ (n je prirodzené číslo.) Je obmena pravdivá? 6. Rozhodni, či platí ekvivalencia. Ak nie, uveď kontrapríklad.- a) Prirodzené číslo n je deliteľné číslom 2 aj číslom 3 práve vtedy, keď je n deliteľné číslom 6.
- b) Pre reálne číslo x: x² = 9 práve vtedy, keď x = 3.
Riešenia
1. Pôvodná implikácia je pravdivá.- Obrátená: „Ak je n deliteľné číslom 5, tak je n deliteľné číslom 10.“ Nepravdivá — číslo 5.
- Obmena: „Ak nie je n deliteľné číslom 5, tak nie je n deliteľné číslom 10.“ Pravdivá.
- Opačná: „Ak nie je n deliteľné číslom 10, tak nie je n deliteľné číslom 5.“ Nepravdivá — číslo 15 nie je deliteľné desiatimi, ale je deliteľné piatimi.
- a) Platí. Číslo deliteľné 2 aj 3 je deliteľné 6 a každý násobok šiestich je deliteľný dvomi aj tromi.
- b) Neplatí. Smer „ak x = 3, tak x² = 9“ platí, ale opačný smer nie: x = −3 spĺňa x² = 9, a pritom x ≠ 3.
Precvič si
👉 Ďalší článok: Kontrapríklad a dôkazy