Zložený výrok slovami — zo symbolov do vety a späť

Kamarátka ti večer napíše: „Ak nestihnem autobus, tak neprídem.“ Ráno autobus stihne. Príde? Možno áno, možno nie. Tá správa ti to vlastne vôbec nesľúbila.

Bežná reč je plná takýchto viet. Často si do nich domyslíme viac, než v nich je. Matematika preto používa skratky: písmená pre jednoduché vety a znaky pre spojky. Správa kamarátky by vyzerala napríklad takto: S′ ⇒ P′ (S: stihnem autobus, P: prídem).

Vyzerá to ako šifra. Je to však len obyčajná veta, zapísaná nakrátko. V tomto článku sa naučíš prekladať oboma smermi: zo symbolov do vety a z vety do symbolov.

---

Obsah

• Výroky v príklade
• Ako čítať spojky
• Zo symbolov do slov
• Pozor na záporné vety
• Zátvorky a „nie je pravda, že“
• Zo slov do symbolov
• Skús si sám
• Najčastejšie chyby
• V skratke
• Riešenia
• Precvič si

---

Výroky v príklade

Predstav si, že si v reštaurácii a rozmýšľaš, čo si dáš. Väčšina článku bude stáť na týchto štyroch výrokoch:

⚠️ B a C sú zámerne záporné vety. Práve na nich sa robí najviac chýb. Zapamätaj si to, vrátime sa k tomu.

---

Ako čítať spojky

Každý znak má svoje „slovo“. Keď ho poznáš, preklad je už len dosadzovanie.

💡 Pri implikácii záleží na smere šípky. Čo je pred šípkou, ide za „ak“. Čo je za šípkou, ide za „tak“. Šípka ukazuje od podmienky k dôsledku.

💡 Znak ∨ pripomína písmeno v. Pomôcka: v ako „vyber si“ — teda „alebo“.

---

Zo symbolov do slov

Postup je vždy rovnaký:

1. Pozri sa, aká spojka je „hlavná“ (tá, ktorá drží celú formulu).
2. Za každé písmeno dosaď jeho vetu. Ak má čiarku, dosaď opačnú vetu.
3. Spoj časti slovami spojky.

Riešený príklad 1: C ⇒ B

• Hlavná spojka je ⇒, teda „ak …, tak …“.
• Pred šípkou je C: „nevypijem kávu“.
• Za šípkou je B: „nezjem kačicu“.

Ak nevypijem kávu, tak nezjem kačicu.

Dve záporné vety za sebou znejú trochu čudne. Nevadí — logika nehľadá pekný štýl, ale presný význam.

Riešený príklad 2: C′ ∨ A

• Hlavná spojka je ∨, teda „alebo“.
• C je „nevypijem kávu“. Čiarka ju otočí: C′ je „vypijem kávu“.
• A je „zjem kurča“.

Vypijem kávu alebo zjem kurča.

💡 V logike „alebo“ pripúšťa aj obe možnosti naraz. Ak vypiješ kávu aj zješ kurča, veta stále platí.

Riešený príklad 3: A ∧ D′

• Hlavná spojka je ∧, teda „a“.
• D je „zjem zákusok“, takže D′ je „nezjem zákusok“.

Zjem kurča a nezjem zákusok.

---

Pozor na záporné vety

Toto je najčastejšia pasca celej témy. Keď je výrok sám záporný, jeho negácia je kladná veta.

Funguje to ako vypínač. Čiarka prepne vetu do opačnej polohy. Ak bola „nie“, prepne ju na „áno“.

Riešený príklad 4: B′ ⇒ C′

• B′: B je „nezjem kačicu“, takže B′ je „zjem kačicu“.
• C′: C je „nevypijem kávu“, takže C′ je „vypijem kávu“.

Ak zjem kačicu, tak vypijem kávu.

Hoci formula má dve čiarky, veta neobsahuje ani jedno „nie“.

⚠️ Pri B′ nepíš znova „nezjem kačicu“. Čiarka vždy otočí význam, aj keď veta už „nie“ obsahuje.

---

Zátvorky a „nie je pravda, že“

Keď sú vo formule tri výroky, zátvorky ukazujú, čo patrí k sebe. Je to ako v počítaní: (2 + 3) · 4 nie je to isté ako 2 + 3 · 4.

Pri (A ∧ D) ⇒ C zátvorka hovorí: podmienkou sú obe jedlá naraz. Až keď zješ kurča aj zákusok, platí sľub o káve.

Čiarka za celou zátvorkou sa číta „nie je pravda, že …“.

Riešený príklad 5: (A ∧ D)′

• Vnútri zátvorky je A ∧ D: „zjem kurča a zjem zákusok“.
• Čiarka za zátvorkou neguje celú túto vetu.

Nie je pravda, že zjem kurča a zjem zákusok.

Čo to znamená? Obe jedlá naraz nezješ. Možno zješ len kurča, možno len zákusok, možno nič.

⚠️ To nie je to isté ako A′ ∧ D′ („nezjem kurča a nezjem zákusok“). Tá veta tvrdí, že nezješ ani jedno. Prečo je rozdiel, vysvetľuje článok Negácia výrokov a kvantifikátory.

---

Zo slov do symbolov

Teraz opačný smer. Najprv v texte nájdi spojky. Potom zisti, ktoré jednoduché vety spájajú.

💡 „Ale“ znie ako protiklad, no v logike znamená to isté ako „a“. Obe časti musia platiť.

Riešený príklad 6: SMS z reštaurácie

Kamarát píše: „Kačicu si dám, ale kávu nie.“ Použi naše výroky A až D.

• „Kačicu si dám“ = zjem kačicu. To je opak B („nezjem kačicu“), teda B′.
• „Kávu nie“ = nevypijem kávu. To je presne C.
• „Ale“ je ∧.

B′ ∧ C

Riešený príklad 7: školské pravidlo

V školskom poriadku stojí: „Ak nemáš prezúvky, tak nesmieš ísť do triedy.“

Najprv si zvoľ výroky. Lepšie je voliť ich kladné:

• P: máš prezúvky
• T: smieš ísť do triedy

„Nemáš prezúvky“ je P′. „Nesmieš ísť do triedy“ je T′.

P′ ⇒ T′

Riešený príklad 8: víkendový plán

Kamarátka píše: „Pôjdem s vami do kina, ak dopíšem úlohu.“

• K: pôjdem do kina
• U: dopíšem úlohu

Pozor, podmienka je na konci vety! Podmienka je to, čo nasleduje za „ak“. To je U.

U ⇒ K

⚠️ Pri preklade do symbolov nerozhoduje poradie slov vo vete. Rozhoduje, čo je podmienka (ide pred šípku) a čo je dôsledok (ide za šípku).

Riešený príklad 9: „nie je pravda, že“

„Nie je pravda, že vypijem kávu alebo zjem kačicu.“

• „vypijem kávu“ = C′
• „zjem kačicu“ = B′
• Vnútri je „alebo“, celé je pod „nie je pravda, že“.

(C′ ∨ B′)′

---

Skús si sám

Používaj výroky A až D z reštaurácie, ak nie je napísané inak.

1. Prepíš slovami: B′ ∧ D
2. Prepíš slovami: D ⇒ C′
3. Prepíš slovami: (A ∨ B)′
4. Zapíš symbolmi: „Ak zjem kačicu, tak nezjem zákusok.“
5. Zapíš symbolmi: „Nezjem kurča, ale vypijem kávu.“
6. Zapíš symbolmi s výrokmi K: pôjdem na koncert, L: ušetrím peniaze: „Pôjdem na koncert, ak ušetrím peniaze.“

Riešenia nájdeš na konci článku.

---

Najčastejšie chyby

• Otočená implikácia. C ⇒ B nie je „ak nezjem kačicu, tak nevypijem kávu“. To je obrátená implikácia — viac v článku Implikácia, obrátená implikácia a obmena.
• Dvojitý zápor. B′ pri B = „nezjem kačicu“ je „zjem kačicu“, nie „nezjem kačicu“.
• „A“ namiesto „alebo“. Znak ∨ pripomína písmeno v, no znamená „alebo“.
• Zabudnutá čiarka. Čiarka pri písmene je ľahko prehliadnuteľná, a pritom mení celý význam.
• Podmienka na konci vety. „Pôjdem do kina, ak dopíšem úlohu“ je U ⇒ K, nie K ⇒ U.
• Čiarka za zátvorkou rozdelená na písmená. (A ∧ D)′ nie je A′ ∧ D′.

---

V skratke

• Formula je len skratka vety: písmeno = jednoduchá veta, znak = spojka.
• ∧ je „a“, ∨ je „alebo“, ⇒ je „ak …, tak …“, ⇔ je „práve vtedy, keď“.
• Čiarka otočí vetu. Pri zápornej vete (B: nezjem kačicu) vznikne kladná (B′: zjem kačicu).
• Čiarka za zátvorkou sa číta „nie je pravda, že …“ a patrí celej zátvorke.
• Pri implikácii ide podmienka pred šípku, aj keď je vo vete až na konci.

---

Riešenia

1. Zjem kačicu a zjem zákusok.
2. Ak zjem zákusok, tak vypijem kávu.
3. Nie je pravda, že zjem kurča alebo nezjem kačicu.
4. B′ ⇒ D′
5. A′ ∧ C′
6. L ⇒ K

---

Precvič si

• ✏️ Zložený výrok slovami
• 🧮 Pravdivosť zloženého výroku

👉 Ďalší článok: Tautológia a kontradikcia