Logické spojky a tabuľky pravdivosti

Hľadáš v e-shope tenisky. Zaškrtneš značky Nike a Adidas a zrazu vidíš viac topánok: stačí, aby bola jedna z tých dvoch značiek. Potom pridáš veľkosť 42 a čiernu farbu a topánok je menej: teraz musia platiť obe podmienky naraz. Bez toho, aby si to tušil, si práve použil dve logické spojky — „alebo“ a „a“.

Mama ti povie: „Ak upraceš izbu, pôjdeš v sobotu na koncert.“ Kedy ťa oklamala? A kedy nie? Aj na to má logika presnú odpoveď.

Z jednoduchých výrokov sa dajú poskladať zložitejšie. Slúžia na to logické spojky: „nie“, „a“, „alebo“, „ak …, tak …“ a „práve vtedy, keď“. Dobrá správa: pravdivosť zloženého výroku závisí len od pravdivosti jeho častí. Nezáleží na tom, či hovoria o teniskách, koncerte alebo prvočíslach.

---

Obsah

• Päť logických spojok
• Negácia
• Konjunkcia — a
• Disjunkcia — alebo
• Implikácia — ak, tak
• Ekvivalencia — práve vtedy, keď
• Tabuľka pravdivosti zloženého výroku
• Najčastejšie chyby
• Skús si sám
• Riešenia
• V skratke
• Precvič si

---

Päť logických spojok

V tabuľkách nižšie znamená 1 pravdivý výrok a 0 nepravdivý.

Riadky idú vždy v rovnakom poradí:

💡 Toto poradie si zapamätaj raz a navždy. Keď ho dodržíš, ľahko porovnáš svoju tabuľku so spolužiakovou aj s riešením.

---

Negácia

Negácia otočí pravdivosť: z pravdivého výroku urobí nepravdivý a naopak. Zapisujeme ju čiarkou za výrokom: A′ čítame „non A“ alebo „nie A“.

💡 V niektorých knihách nájdeš negáciu zapísanú aj ako ¬A. Znamená to to isté.

Príklady:

• A: „Číslo 12 je deliteľné číslom 5.“ (0) → A′: „Číslo 12 nie je deliteľné číslom 5.“ (1)
• B: „Vonku prší.“ → B′: „Vonku neprší.“
• C: „Mám aspoň 15 rokov.“ → C′: „Mám menej ako 15 rokov.“

⚠️ Negácia nie je „opak“ v bežnom zmysle. Negácia výroku „Číslo 5 je väčšie ako 3.“ je „Číslo 5 nie je väčšie ako 3.“ — a to znamená „je menšie ako 3 alebo sa rovná 3“. Nie iba „je menšie ako 3“.

Ako negovať výroky so slovami „všetci“, „niektorý“ alebo zložené výroky, nájdeš v článku Negácia výrokov.

---

Konjunkcia — a

A ∧ B je pravdivá, len keď platia oba výroky. Stačí jeden nepravdivý a celá konjunkcia padá.

Príklady:

• „Číslo 30 je párne a je deliteľné číslom 7.“ — prvá časť platí, druhá nie → 0.
• „Číslo 30 je párne a je deliteľné číslom 5.“ — obe časti platia → 1.
• Pravidlo súťaže: „Môžeš sa prihlásiť, ak máš 15 rokov a máš súhlas rodiča.“ Bez súhlasu ti nepomôže ani to, že máš 17.

💡 V hrách to poznáš z kódu typu `if (kluc && dvere_blizko)`. Dvere sa otvoria, len keď máš kľúč a zároveň stojíš pri dverách.

---

Disjunkcia — alebo

A ∨ B je pravdivá, keď platí aspoň jeden výrok. Nepravdivá je jedine vtedy, keď neplatí ani jeden.

Príklady:

• „Číslo 6 je párne alebo deliteľné tromi.“ — platia obe časti → 1.
• „Číslo 9 je párne alebo deliteľné tromi.“ — platí druhá časť → 1.
• „Číslo 7 je párne alebo deliteľné tromi.“ — neplatí ani jedna → 0.

Logické „alebo“ verzus menu v reštaurácii

V reštaurácii ti čašník povie: „K obedu máte polievku alebo šalát.“ Ak chceš oboje, asi ti nevyhovie. To je vylučovacie „alebo“ — buď jedno, alebo druhé, nie oboje.

V matematike je to inak. Matematické „alebo“ nie je vylučovacie: dovoľuje aj oboje. Presne ako vyhľadávanie: keď hľadáš články o futbale alebo hokeji, chceš vidieť aj tie, ktoré píšu o oboch športoch.

💡 V programovaní sa disjunkcia píše `||`: podmienka `if (dazd || sneh)` platí, keď prší, keď sneží, aj keď padá oboje naraz.

⚠️ Ak chceš v logike povedať „buď A, alebo B, ale nie oboje“, musíš to povedať výslovne. Taký výrok je pravdivý, práve keď má A a B rôznu hodnotu — je to negácia ekvivalencie, (A ⇔ B)′.

Riešený príklad 1 — vyhodnoť zložené výroky

A: „Číslo 15 je deliteľné tromi.“ B: „Číslo 15 je párne.“ Urč pravdivosť výrokov A ∧ B, A ∨ B a A′ ∨ B.

1. Najprv hodnoty jednoduchých výrokov: 15 = 3 · 5, takže A = 1. Číslo 15 je nepárne, takže B = 0.
2. A ∧ B = 1 ∧ 0. Konjunkcia potrebuje dve jednotky → 0.
3. A ∨ B = 1 ∨ 0. Disjunkcii stačí jedna jednotka → 1.
4. A′ ∨ B: najprv A′ = 0. Potom 0 ∨ 0 → 0.

💡 Vždy postupuj zvnútra von: najprv negácie a zátvorky, až potom hlavná spojka.

---

Implikácia — ak, tak

V implikácii A ⇒ B je A predpoklad a B záver. Implikácia je nepravdivá jedine vtedy, keď predpoklad platí a záver neplatí.

Implikáciu si predstav ako sľub. Sľub je porušený len vtedy, keď si splnil podmienku, a odmena neprišla.

Riešený príklad 2 — sľub a koncert

Mama sľúbi: „Ak upraceš izbu, pôjdeš na koncert.“ Označme U: „Upraceš izbu.“ a K: „Pôjdeš na koncert.“ Sľub je U ⇒ K. Prejdime všetky štyri situácie:

Tretí riadok prekvapí najviac. Mama ale nesľúbila, že bez upratania nepôjdeš. Povedala len, čo sa stane, keď upraceš. Keď neupraceš, sľub o tom mlčí — a preto ho nemôže porušiť.

Ďalšie príklady:

• „Ak je číslo deliteľné číslom 4, tak je párne.“ — pravdivá implikácia. Neexistuje číslo deliteľné štyrmi, ktoré by bolo nepárne.
• „Ak 2 + 2 = 5, tak som prezident.“ — pravdivá implikácia! Predpoklad je nepravdivý, takže celok je 1.
• V hre: „Ak máš 100 mincí, odomkne sa nová postava.“ Ak máš 100 mincí a postava sa neodomkne, hra má chybu. Ak máš 40 mincí, hra nič nesľúbila.

⚠️ Implikácia nehovorí nič o príčine. Výrok „Ak je Bratislava hlavné mesto Slovenska, tak 7 je prvočíslo.“ je pravdivý (1 ⇒ 1), hoci jedno s druhým nijako nesúvisí.

⚠️ A ⇒ B nie je to isté ako B ⇒ A. „Ak je číslo deliteľné štyrmi, tak je párne.“ platí. Obrátene „Ak je číslo párne, tak je deliteľné štyrmi.“ neplatí — pozri číslo 6. Viac v článku Implikácia a jej obmena.

---

Ekvivalencia — práve vtedy, keď

A ⇔ B je pravdivá, keď majú oba výroky rovnakú hodnotu — oba platia, alebo oba neplatia.

Ekvivalencia je „obojsmerná implikácia“: A ⇔ B znamená, že platí A ⇒ B aj B ⇒ A.

Príklady:

• „Prirodzené číslo končí číslicou 0 práve vtedy, keď je deliteľné číslom 10.“ — pravdivá ekvivalencia.
• „Trojuholník je rovnostranný práve vtedy, keď má všetky uhly 60°.“ — pravdivá.
• „Číslo je párne práve vtedy, keď je deliteľné štyrmi.“ — nepravdivá. Číslo 6 je párne, ale štyrmi deliteľné nie je.
• Na koncert ťa pustia práve vtedy, keď máš platný lístok. Kto ho má, ide dnu. Kto ho nemá, nejde.

---

Tabuľka pravdivosti zloženého výroku

Pri zložitejšom výroku nepočítaj všetko naraz. Pridaj si pomocné stĺpce — jeden pre každú časť výroku — a postupuj zľava doprava.

Koľko riadkov bude mať tabuľka

Každý výrok môže mať dve hodnoty. Pri n jednoduchých výrokoch je teda 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ riadkov.

Pri troch výrokoch A, B, C vyplň prvé stĺpce takto: v stĺpci A štyri jednotky a štyri nuly, v stĺpci B po dvoch (1 1 0 0 1 1 0 0), v stĺpci C striedavo (1 0 1 0 1 0 1 0).

Riešený príklad 3 — tabuľka výroku (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

1. Výroky sú dva → tabuľka má 2² = 4 riadky.
2. Pomocný stĺpec A ⇒ B: nula je len v riadku 1 0.
3. Pomocný stĺpec B ⇒ A: nula je len tam, kde B = 1 a A = 0, teda v riadku 0 1.
4. Výsledok je konjunkcia oboch pomocných stĺpcov: jednotka len tam, kde sú obe jednotky.

Posledný stĺpec je 1 0 0 1 — presne ako pri A ⇔ B. Tým sme overili, že ekvivalencia je naozaj „implikácia oboma smermi“.

Podobne vyjde, že A′ ∨ B má vždy rovnakú hodnotu ako A ⇒ B:

Riešený príklad 4 — pravidlo súťaže s tromi výrokmi

Pravidlo: „Ak máš 15 rokov a súhlas rodiča, môžeš sa prihlásiť.“ Označme V: „Máš 15 rokov.“, S: „Máš súhlas rodiča.“ a P: „Môžeš sa prihlásiť.“ Pravidlo je (V ∧ S) ⇒ P.

1. Výroky sú tri → 2³ = 8 riadkov.
2. Pomocný stĺpec V ∧ S: jednotka len v prvých dvoch riadkoch, kde V = 1 aj S = 1.
3. Implikácia (V ∧ S) ⇒ P je nepravdivá len tam, kde V ∧ S = 1 a P = 0.

Pravidlo porušíš jediným spôsobom: spĺňaš obe podmienky, a aj tak ťa neprihlásia (riadok 1 1 0). Všetky ostatné situácie s pravidlom nie sú v spore.

---

Najčastejšie chyby

• „Alebo“ ako v menu. Matematické „alebo“ je pravdivé aj vtedy, keď platia obe časti.
• Implikácia s nepravdivým predpokladom je vraj nepravdivá. Nie — keď predpoklad neplatí, implikácia je vždy 1.
• Zámena A ⇒ B a B ⇒ A. „Ak prší, je mokro.“ neznamená „Ak je mokro, prší.“ (Mohol ísť polievací voz.)
• Hľadanie súvislosti v implikácii. Pravdivosť určujú len hodnoty 1 a 0, nie to, či sa časti „k sebe hodia“.
• Zlý počet riadkov. Pri troch výrokoch nie je 6 riadkov (2 · 3), ale 8 (2³).
• Zabudnuté zátvorky. (A ∧ B)′ nie je A′ ∧ B. Pre A = 1, B = 0 vyjde (A ∧ B)′ = 1, ale A′ ∧ B = 0.
• Negácia ako „opak“. Negácia výroku „x je väčšie ako 3“ je „x nie je väčšie ako 3“, nie „x je menšie ako 3“.

---

Skús si sám

1. A: „7 je prvočíslo.“ B: „7 je párne číslo.“ Urč hodnotu výrokov: a) A ∧ B′ b) A′ ∨ B c) B ⇒ A d) A ⇔ B.
2. Koľko riadkov má tabuľka pravdivosti výroku, v ktorom sú štyri jednoduché výroky? A koľko pri piatich?
3. Kamarát sľúbi: „Ak vyhráme zápas, pozvem vás na pizzu.“ a) Vyhrali ste a pizza nebola. Porušil sľub? b) Prehrali ste a pizza aj tak bola. Porušil sľub?
4. Je pravdivý výrok „Ak 2 · 3 = 7, tak Mesiac je zo syra.“? Prečo?
5. Zostav tabuľku pravdivosti výroku A ∧ B′ s pomocným stĺpcom B′.
6. O výrokoch A, B vieš, že A ⇒ B je nepravdivá. Aké hodnoty majú A a B? Aká je potom hodnota A ∨ B?

---

Riešenia

1. A = 1, B = 0, B′ = 1, A′ = 0. a) 1 ∧ 1 = 1 b) 0 ∨ 0 = 0 c) 0 ⇒ 1 = 1 d) 1 ⇔ 0 = 0.
2. 2⁴ = 16 riadkov. Pri piatich výrokoch 2⁵ = 32 riadkov.
3. a) Áno, predpoklad platil (1) a záver nie (0) → implikácia je 0. b) Nie, predpoklad neplatil, takže sľub nebol porušený → 1.
4. Áno, je pravdivý. Predpoklad 2 · 3 = 7 je nepravdivý a implikácia s nepravdivým predpokladom je vždy pravdivá.
5. Stĺpec B′ je 0 1 0 1, výsledok A ∧ B′ je 0 1 0 0. Jednotka je len v riadku A = 1, B = 0.

1. Implikácia je nepravdivá jedine pre A = 1, B = 0. Potom A ∨ B = 1 ∨ 0 = 1.

---

V skratke

• Negácia A′ otočí hodnotu: 1 → 0, 0 → 1.
• Konjunkcia A ∧ B je pravdivá, len keď platia obe časti.
• Disjunkcia A ∨ B je nepravdivá, len keď neplatí ani jedna časť. „Alebo“ dovoľuje aj oboje.
• Implikácia A ⇒ B je nepravdivá jedine v prípade 1 ⇒ 0 — splnená podmienka, nesplnený sľub.
• Ekvivalencia A ⇔ B je pravdivá, keď majú obe časti rovnakú hodnotu.
• Tabuľka pre n výrokov má 2ⁿ riadkov v poradí od samých jednotiek po samé nuly. Zložitý výrok rozlož na pomocné stĺpce.

---

Precvič si

• 🧮 Pravdivosť zloženého výroku
• ✏️ Zložený výrok slovami
• 📊 Tabuľka pravdivostných hodnôt

👉 Ďalší článok: Zložený výrok slovami — od symbolov k vete