Negácia výrokov a kvantifikátory

Brat sa pri večeri chváli: „V piatok som dostal jednotku z matiky aj z fyziky.“ Ty vieš svoje a povieš: „To nie je pravda!“

Čo si však presne povedal? Netvrdíš, že dostal dve päťky. Netvrdíš ani, že nedostal jednotku z ničoho. Tvrdíš len to, že aspoň jedna z tých dvoch jednotiek je vymyslená.

Presne toto je negácia výroku. Tvrdí presný opak — nie viac, nie menej. V hádke to málokto rieši. V matematike, v pravidlách aj pri overovaní správ (fact-checkingu) na tom však záleží. A práve tu sa robí najviac chýb: opakom slova „každý“ totiž nie je „žiadny“.

---

Obsah

• Čo vlastne tvrdí negácia
• Test negácie
• Negácia nerovnosti
• Negácia spojok a a alebo
• Negácia implikácie — porušený sľub
• Negácia ekvivalencie
• Každý, existuje a žiadny
• Aspoň a najviac
• Prehľad pravidiel
• Najčastejšie chyby
• V skratke
• Skús si sám
• Riešenia
• Precvič si

---

Čo vlastne tvrdí negácia

Negácia výroku A sa zapisuje A′ a čítame ju „nie je pravda, že A“. Najjednoduchšie je dať pred celú vetu „Nie je pravda, že …“. To je vždy správne, ale nepekné. Lepšie je vetu prepísať tak, aby znela prirodzene.

Pri jednoduchej vete stačí pridať alebo odobrať „nie“. Zaujímavé to začne byť pri vetách so spojkami a so slovami ako „každý“ či „aspoň“.

---

Test negácie

Ako zistíš, či si negoval správne? Výrok a jeho negácia musia spĺňať dve podmienky:

• nemôžu platiť naraz,
• nemôžu naraz neplatiť.

Vždy teda platí práve jeden z nich. Ak nájdeš situáciu, v ktorej platia oba, alebo neplatí ani jeden, negácia je zlá.

Vyskúšaj to na hádke s bratom. Výrok: „Mám jednotku z matiky aj z fyziky.“ Kandidát na negáciu: „Mám päťku z matiky aj z fyziky.“

• Situácia: z matiky jednotka, z fyziky trojka.
• Výrok neplatí (z fyziky nemá jednotku).
• Kandidát tiež neplatí (z matiky nemá päťku).
• Neplatí ani jeden → nie je to negácia.

💡 Test negácie je tvoja poistka. Keď si nie si istý, vymysli konkrétnu situáciu a skontroluj, či platí práve jedna z dvoch viet.

---

Negácia nerovnosti

Opakom „menší“ nie je „väčší“. Negácia „a < b“ je „a ≥ b“, nie „a > b“. Na rovnosť sa nesmie zabudnúť: ak a = b, neplatí ani a < b, ani a > b.

Príklad zo života: „Na atrakciu môžeš, ak meriaš menej ako 140 cm.“ Kto na ňu nemôže? Ten, kto meria 140 cm alebo viac. Človek s výškou presne 140 cm na atrakciu nesmie.

💡 Pomôcka: číselná os sa rozdelí na dve časti, ktoré sa neprekrývajú. Hraničné číslo patrí práve do jednej z nich. Ak je v pôvodnom výroku znak bez rovnosti, negácia rovnosť má — a naopak.

---

Negácia spojok a a alebo

Pri negácii zloženého výroku sa spojka mení: „a“ na „alebo“ a „alebo“ na „a“. Sú to De Morganove pravidlá.

(A ∧ B)′ ⇔ A′ ∨ B′

(A ∨ B)′ ⇔ A′ ∧ B′

Prečo? Aby konjunkcia „A a B“ neplatila, stačí, keď zlyhá jedna jej časť. Preto „alebo“. Disjunkcia „A alebo B“ neplatí len vtedy, keď zlyhajú obe časti. Preto „a“.

Príklady:

💡 Druhý riadok je fact-checking v praxi. Ak chceš vyvrátiť reklamu „bez cukru a bez konzervantov“, nemusíš dokázať oboje. Stačí nájsť na obale cukor alebo konzervant.

💡 Negáciu „alebo“ často povieš pomocou „ani … ani“: „Zajtra ani nepíšeme test, ani neodovzdávame projekt.“

Riešený príklad 1

Neguj výrok: „Číslo 24 je párne a je deliteľné číslom 9.“

1. Rozlož ho na časti. A: „Číslo 24 je párne.“ B: „Číslo 24 je deliteľné číslom 9.“
2. Výrok má tvar A ∧ B. Jeho negácia je A′ ∨ B′.
3. Zneguj každú časť a spojku „a“ vymeň za „alebo“.
4. Negácia: „Číslo 24 nie je párne alebo nie je deliteľné číslom 9.“

Kontrola: A platí, B neplatí (24 : 9 nevychádza). Pôvodný výrok je preto nepravdivý. V negácii A′ neplatí, ale B′ platí, takže negácia je pravdivá. Platí práve jeden z nich ✓.

---

Negácia implikácie — porušený sľub

Mama povie: „Ak upraceš izbu, tak dostaneš 10 eur.“ Kedy mama sľub porušila? Prejdi všetky štyri možnosti:

Sľub poruší jedine ten, kto podmienku splnil, ale odmenu nedostal. Presne toto hovorí negácia implikácie:

(A ⇒ B)′ ⇔ A ∧ B′

Teda: „Izbu si upratal a 10 eur si nedostal.“

Matematický príklad:

• Výrok: „Ak je číslo 42 deliteľné číslom 6, tak je deliteľné číslom 4.“
• Negácia: „Číslo 42 je deliteľné číslom 6 a nie je deliteľné číslom 4.“

⚠️ Negácia implikácie už nie je implikácia. Výrok „Ak nie je číslo 42 deliteľné číslom 6, tak nie je deliteľné číslom 4.“ negáciou nie je.

Over to testom negácie na sľube. Zlý kandidát: „Ak neupraceš izbu, tak nedostaneš 10 eur.“ Situácia: neupratal si a peniaze si nedostal. Mamin sľub platí. Aj zlý kandidát platí. Platia oba → nie je to negácia.

⚠️ Rovnako zlé je „Ak upraceš izbu, tak nedostaneš 10 eur.“ Keď izbu neupraceš, platí mamin sľub aj táto veta.

Riešený príklad 2

Neguj výrok: „Ak je číslo 18 deliteľné číslom 6, tak je deliteľné číslom 4.“

1. A: „Číslo 18 je deliteľné číslom 6.“ B: „Číslo 18 je deliteľné číslom 4.“
2. Výrok má tvar A ⇒ B. Negácia je A ∧ B′ — žiadne „ak … tak“.
3. Prvú časť ponechaj, druhú zneguj a spoj ich slovom „a“.
4. Negácia: „Číslo 18 je deliteľné číslom 6 a nie je deliteľné číslom 4.“

Kontrola: 18 = 6 · 3, takže A platí. Číslo 18 však nie je deliteľné číslom 4, takže B neplatí. Implikácia „pravda ⇒ nepravda“ je nepravdivá. Negácia „pravda a pravda“ je pravdivá ✓.

---

Negácia ekvivalencie

Ekvivalencia A ⇔ B tvrdí, že A a B majú rovnakú pravdivostnú hodnotu. Jej negácia teda tvrdí, že majú rôznu hodnotu: jeden platí a druhý nie.

(A ⇔ B)′ ⇔ (A ∧ B′) ∨ (A′ ∧ B)

Príklad: „Na výlet pôjdeme práve vtedy, keď bude svietiť slnko.“

Negácia: „Slnko bude svietiť a na výlet nepôjdeme, alebo slnko nebude svietiť a na výlet pôjdeme.“

💡 Kratší tvar: stačí znegovať jednu stranu. „Na výlet pôjdeme práve vtedy, keď nebude svietiť slnko.“ Aj to je správna negácia, lebo opäť tvrdí, že výlet a slnko „nejdú spolu“.

Kontrola na čísle: „Číslo 15 je párne práve vtedy, keď je deliteľné číslom 3.“ Číslo 15 nie je párne, ale je deliteľné číslom 3. Strany sa líšia, výrok je nepravdivý. Negácia platí vďaka druhej časti „nie je párne a je deliteľné číslom 3“ ✓.

---

Každý, existuje a žiadny

Slová „každý“ (všeobecný kvantifikátor, ∀) a „existuje“ (existenčný kvantifikátor, ∃) pri negácii vymenia miesta a negovaná je aj vlastnosť. Viac o kvantifikátoroch nájdeš v článku Kvantifikátory.

Predstav si reklamu: „Všetky naše výrobky sú vegánske.“ Ako ju vyvrátiš? Nemusíš dokázať, že žiadny výrobok nie je vegánsky. Stačí nájsť jeden, ktorý vegánsky nie je.

⚠️ Vetu „Každé dvojciferné číslo nie je deliteľné číslom 13.“ radšej nepoužívaj. V bežnej reči ju ľudia chápu ako „nie každé“, a to je niečo iné. Povedz „žiadne … nie je“.

⚠️ Najčastejšia chyba: negovať „Každé prvočíslo je nepárne.“ vetou „Žiadne prvočíslo nie je nepárne.“ Obidve vety sú nepravdivé (2 je párne, 3 je nepárne), takže jedna nemôže byť negáciou druhej.

💡 Na vyvrátenie výroku „každý …“ stačí jediný prípad. To je kontrapríklad — viac v článku Kontrapríklad a dôkazy.

Riešený príklad 3

Neguj výrok: „Každé číslo z množiny M = {3, 5, 9, 15} je nepárne a deliteľné číslom 3.“

1. Kvantifikátor „každé“ sa zmení na „existuje“.
2. Vlastnosť „je nepárne a deliteľné číslom 3“ treba znegovať. Je to konjunkcia, takže podľa De Morgana: „nie je nepárne alebo nie je deliteľné číslom 3“.
3. „Nie je nepárne“ znamená pri celých číslach „je párne“.
4. Negácia: „Existuje číslo z množiny M, ktoré je párne alebo nie je deliteľné číslom 3.“

Kontrola: číslo 5 nie je deliteľné číslom 3. Pôvodný výrok je preto nepravdivý a negácia je pravdivá — práve vďaka číslu 5 ✓.

---

Aspoň a najviac

Pri počtoch sa „aspoň“ a „najviac“ menia navzájom a číslo sa posunie o jednotku.

Príklad: „Počet prvočísel medzi číslami 4, 7, 9, 11, 15, 21 je aspoň 3.“ Negácia: „… je najviac 2.“ Skutočne, ak ich nie je aspoň 3, môžu byť 0, 1 alebo 2. (Prvočísla sú tu len 7 a 11, takže pravdivá je negácia.)

Reklama: „Aspoň 9 z 10 zubárov odporúča túto pastu.“ Negácia: „Najviac 8 z 10 zubárov odporúča túto pastu.“

Školské pravidlo: „Za polrok môžeš mať najviac 3 neospravedlnené neskoré príchody.“ Pravidlo porušíš, keď ich máš aspoň 4.

⚠️ Negácia „aspoň 3“ nie je „najviac 3“. Číslo 3 by potom patrilo do oboch viet a obe by platili naraz.

---

Prehľad pravidiel

---

Najčastejšie chyby

• Zabudnutá rovnosť: negácia „x < 5“ nie je „x > 5“, ale „x ≥ 5“.
• Spojka ostala rovnaká: negácia „A a B“ nie je „A′ a B′“. Spojka sa mení na „alebo“.
• Negácia implikácie ako implikácia: „Ak nie A, tak nie B“ nie je negácia. Správne je „A a nie B“.
• „Každý“ → „žiadny“: negácia „každý je …“ je „existuje niekto, kto nie je …“, nie „nikto nie je …“.
• Dvojznačné „každé … nie je“: namiesto toho povedz „žiadne … nie je“ alebo „existuje …, ktoré nie je“.
• Aspoň a najviac bez posunu: negácia „aspoň 3“ je „najviac 2“, nie „najviac 3“.

---

V skratke

• Výrok a jeho negácia nemôžu platiť naraz ani naraz neplatiť — vždy platí práve jeden.
• Pri nerovnostiach sa rovnosť „presúva“: < ↔ ≥, ≤ ↔ >, = ↔ ≠.
• De Morgan: pri negácii sa „a“ mení na „alebo“ a naopak.
• Negácia implikácie je „A a nie B“ — porušený sľub, nie ďalšia implikácia.
• „Každý“ ↔ „existuje … nie“, „existuje“ ↔ „žiadny … nie“.
• „Aspoň k“ ↔ „najviac k − 1“.

---

Skús si sám

1. Neguj nerovnosť: x ≤ 7.
2. Neguj výrok: „V sobotu pôjdem do kina alebo na bazén.“
3. Neguj výrok a urči, ktorý z dvojice je pravdivý: „Číslo 35 je deliteľné číslom 5 a je deliteľné číslom 7.“
4. Neguj výrok: „Ak prší, tak si zoberiem dáždnik.“
5. Neguj výrok: „Každý trojuholník má aspoň jeden ostrý uhol.“
6. Neguj výrok: „V našej skupine sú najviac 3 žiaci s okuliarmi.“

---

Riešenia

1. x > 7. (Číslo 7 patrí do pôvodného výroku, preto v negácii rovnosť nie je.)
2. „V sobotu nepôjdem do kina a nepôjdem na bazén.“ Inak povedané: „V sobotu nepôjdem ani do kina, ani na bazén.“
3. „Číslo 35 nie je deliteľné číslom 5 alebo nie je deliteľné číslom 7.“ Keďže 35 = 5 · 7, pôvodný výrok je pravdivý a negácia nepravdivá.
4. „Prší a dáždnik si nezoberiem.“ Žiadne „ak … tak“.
5. „Existuje trojuholník, ktorý nemá žiadny ostrý uhol.“ „Každý“ sa zmenil na „existuje“ a „má aspoň jeden“ na „nemá žiadny“. Pôvodný výrok je pravdivý, negácia nepravdivá.
6. „V našej skupine sú aspoň 4 žiaci s okuliarmi.“

---

Precvič si

• 🔢 Kvantifikátory
• ✏️ Negácia výroku

👉 Ďalší článok: Implikácia, obrátená implikácia a obmena