Vietove vzorce — vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi

Vietove vzorce — vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi

Roznásob (x − 2)(x − 5) = x² − 7x + 10. Pozri sa na čísla: −7 je opačné číslo k súčtu 2 + 5 a 10 je súčin 2 · 5. Korene a koeficienty rovnice spolu súvisia — a ten súvis objavil francúzsky matematik François Viète (čítaj „vijét“) už v 16. storočí.

Vďaka nemu poznáš súčet a súčin koreňov skôr, než rovnicu vyriešiš.

Obsah

Vzorce

Ak má rovnica ax² + bx + c = 0 korene x₁ a x₂, potom

Pre rovnicu s a = 1, teda x² + bx + c = 0, je to ešte jednoduchšie:

  • súčet koreňov je −b (opačné číslo k b),
  • súčin koreňov je c.

Riešený príklad 1

2x² − 7x + 3 = 0

  • Súčet: x₁ + x₂ = −(−7)/2 = 7/2.
  • Súčin: x₁ · x₂ = 3/2.

Kontrola: korene sú 3 a 1/2 (D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5) / 4). Naozaj 3 + 1/2 = 7/2 a 3 · 1/2 = 3/2 ✓.

Prečo platia

Korene sú x₁ = (−b + √D) / 2a a x₂ = (−b − √D) / 2a.

  • Pri sčítaní sa √D zruší: x₁ + x₂ = −2b / 2a = −b/a.
  • Pri násobení použijeme (A + B)(A − B) = A² − B²: x₁ · x₂ = (b² − D) / 4a². Keďže D = b² − 4ac, je b² − D = 4ac, a preto x₁ · x₂ = 4ac / 4a² = c/a.

Hádanie koreňov

Pri rovnici x² + bx + c = 0 s celočíselnými koreňmi hľadáme dve čísla, ktorých súčin je c a súčet je −b.

Riešený príklad 2

x² − 7x + 12 = 0

Hľadáme čísla so súčinom 12 a súčtom 7. Dvojice so súčinom 12: 1 a 12, 2 a 6, 3 a 4. Súčet 7 má len dvojica 3 a 4.

Korene: x₁ = 3, x₂ = 4.

Riešený príklad 3

x² + 2x − 15 = 0

Súčin −15 (čísla majú opačné znamienka), súčet −2. Vyhovuje 3 a −5: 3 · (−5) = −15, 3 + (−5) = −2.

Korene: x₁ = 3, x₂ = −5.

Druhý koreň z prvého

Riešený príklad 4

Rovnica x² − 3x + c = 0 má koreň x₁ = 5. Nájdi druhý koreň a číslo c.

  1. Súčet koreňov je −b = 3, preto x₂ = 3 − 5 = −2.
  2. c je súčin koreňov: c = 5 · (−2) = −10.

Skúška: 5² − 3 · 5 − 10 = 25 − 15 − 10 = 0 ✓.

Výrazy s koreňmi bez ich výpočtu

Niekedy sú korene nepekné (s odmocninou), ale výraz z nich vyjde pekný. Stačí ho prepísať pomocou súčtu s = x₁ + x₂ a súčinu p = x₁ · x₂:

VýrazPrepis
x₁² + x₂²(x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = s² − 2p
1/x₁ + 1/x₂(x₁ + x₂) / (x₁x₂) = s / p
(x₁ − x₂)²(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = s² − 4p
x₁²x₂ + x₁x₂²x₁x₂(x₁ + x₂) = p · s

Riešený príklad 5

Rovnica x² − 2x − 2 = 0 má korene x₁, x₂. Vypočítaj x₁² + x₂².

  1. s = 2, p = −2.
  2. x₁² + x₂² = s² − 2p = 4 − 2 · (−2) = 4 + 4 = 8.

Kontrola: korene sú 1 + √3 a 1 − √3. Ich druhé mocniny sú 4 + 2√3 a 4 − 2√3, súčet je 8 ✓.

Riešený príklad 6

Pre tú istú rovnicu: 1/x₁ + 1/x₂ = s / p = 2 / (−2) = −1.

Najčastejšie chyby

  • Znamienko súčtu. Súčet je −b/a, nie b/a. Pri x² − 7x + 12 = 0 je súčet 7, nie −7.
  • Zabudnuté delenie a. Pri 2x² − 7x + 3 = 0 je súčin 3/2, nie 3.
  • Vzorce bez reálnych koreňov. Rovnica x² + x + 5 = 0 nemá reálne korene (D = 1 − 20 < 0), hoci „súčet −1“ by sa vypočítať dal. Ak úloha hovorí o reálnych koreňoch, over najprv D ≥ 0.
  • x₁² + x₂² ≠ (x₁ + x₂)². Treba odčítať 2x₁x₂.

V skratke

  • Pre ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
  • Pre x² + bx + c = 0: súčet −b, súčin c.
  • Celočíselné korene uhádneš: čísla so súčinom c a súčtom −b.
  • Z jedného koreňa dostaneš druhý zo súčtu alebo zo súčinu.
  • Výrazy ako x₁² + x₂² prepíš pomocou súčtu a súčinu.

Skús si sám

  1. Urči súčet a súčin koreňov rovnice x² + 6x − 16 = 0.
  2. Urči súčet a súčin koreňov rovnice 3x² − 4x − 5 = 0.
  3. Uhádni korene rovnice x² − 9x + 20 = 0.
  4. Rovnica x² + bx − 12 = 0 má koreň 3. Nájdi druhý koreň a b.
  5. Rovnica x² − 4x + 1 = 0 má korene x₁, x₂. Vypočítaj x₁² + x₂².
Riešenia:
  1. Súčet −6, súčin −16 (korene 2 a −8).
  2. Súčet 4/3, súčin −5/3.
  3. Súčin 20, súčet 9: korene 4 a 5.
  4. Súčin −12: x₂ = −12 / 3 = −4. b = −(3 + (−4)) = 1.
  5. s = 4, p = 1: x₁² + x₂² = 16 − 2 = 14.

Precvič si

👉 Späť: Rozklad na koreňové činitele · Ďalej: Rovnice, ktoré vedú na kvadratickú