Slovné úlohy na kvadratické rovnice

Slovné úlohy na kvadratické rovnice

Záhradník chce obdĺžnikový záhon s obsahom 96 m², pričom jedna strana má byť o 4 m dlhšia ako druhá. Aké rozmery má záhon? Ak kratšiu stranu označíme x, dlhšia je x + 4 a obsah je x · (x + 4) = 96. Neznáma sa tu násobí sama sebou — vznikla kvadratická rovnica.

Kvadratická rovnica má často dva korene, ale úloha môže mať len jedno rozumné riešenie. Ukážeme si, ako to rozlíšiť.

Obsah

Postup v piatich krokoch

  1. Označ neznámu. Napíš slovami, čo znamená x (napríklad „x je kratšia strana v metroch“).
  2. Vyjadri ostatné veličiny pomocou x.
  3. Zostav rovnicu podľa textu a uprav ju na tvar ax² + bx + c = 0.
  4. Vyrieš ju — vzorcom alebo rozkladom.
  5. Skontroluj korene. Záporná dĺžka, záporný počet ľudí či záporná rýchlosť nedávajú zmysel — takýto koreň vyhoď. Potom odpovedz celou vetou.

Obdĺžnik

Riešený príklad 1

Záhon má obsah 96 m² a jedna strana je o 4 m dlhšia ako druhá.

  1. x = kratšia strana (m), x + 4 = dlhšia strana.
  2. x(x + 4) = 96, teda x² + 4x − 96 = 0.
  3. D = 16 + 384 = 400, x = (−4 ± 20) / 2, teda x = 8 alebo x = −12.
  4. −12 nevyhovuje — dĺžka nemôže byť záporná.

Odpoveď: záhon má rozmery 8 m a 12 m. Skúška: 8 · 12 = 96 ✓.

Po sebe idúce čísla

Riešený príklad 2

Súčin dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel je 156. Ktoré sú to čísla?

  1. n = menšie číslo, n + 1 = väčšie.
  2. n(n + 1) = 156, teda n² + n − 156 = 0.
  3. D = 1 + 624 = 625, n = (−1 ± 25) / 2, teda n = 12 alebo n = −13.
  4. −13 nie je prirodzené číslo.

Odpoveď: čísla sú 12 a 13.

Turnaj — každý s každým

Ak hrá n tímov každý s každým raz, každý tím odohrá n − 1 zápasov. Súčin n(n − 1) však započíta každý zápas dvakrát (raz za každý z dvoch tímov), preto je zápasov n(n − 1) / 2.

Riešený príklad 3

Na turnaji sa odohralo 28 zápasov. Koľko tímov hralo?

  1. n(n − 1) / 2 = 28, teda n² − n − 56 = 0.
  2. D = 1 + 224 = 225, n = (1 ± 15) / 2, teda n = 8 alebo n = −7.

Odpoveď: hralo 8 tímov.

💡 Podobne mnohouholník s n vrcholmi má n(n − 3) / 2 uhlopriečok: z každého vrcholu vedie n − 3 uhlopriečok a každú sme započítali dvakrát.

Pravouhlý trojuholník

Riešený príklad 4

Odvesny pravouhlého trojuholníka sa líšia o 7 cm, prepona meria 13 cm. Aké dlhé sú odvesny?

  1. x = kratšia odvesna, x + 7 = dlhšia odvesna.
  2. Pytagorova veta: x² + (x + 7)² = 13².
  3. x² + x² + 14x + 49 = 169, teda 2x² + 14x − 120 = 0, po vydelení dvomi x² + 7x − 60 = 0.
  4. D = 49 + 240 = 289, x = (−7 ± 17) / 2, teda x = 5 alebo x = −12.

Odpoveď: odvesny merajú 5 cm a 12 cm. Skúška: 25 + 144 = 169 ✓.

Rýchlosť a čas

Čas jazdy je dráha delená rýchlosťou: t = s / v.

Riešený príklad 5

Cyklista prešiel 60 km. Keby išiel o 5 km/h rýchlejšie, bol by v cieli o hodinu skôr. Akou rýchlosťou išiel?

  1. v = jeho rýchlosť (km/h). Skutočný čas je 60/v, rýchlejší čas 60/(v + 5).
  2. Rozdiel časov je 1 hodina: 60/v − 60/(v + 5) = 1.
  3. Vynásob v(v + 5): 60(v + 5) − 60v = v(v + 5), teda 300 = v² + 5v.
  4. v² + 5v − 300 = 0, D = 25 + 1200 = 1225, v = (−5 ± 35) / 2, teda v = 15 alebo v = −20.

Odpoveď: cyklista išiel rýchlosťou 15 km/h. Skúška: 60/15 = 4 h, 60/20 = 3 h, rozdiel 1 h ✓.

Najčastejšie chyby

  • Ponechaný nezmyselný koreň. Záporná dĺžka či počet tímov nie je odpoveď.
  • Neúplná odpoveď. Ak sa pýtame na rozmery, treba uviesť obe strany, nielen x.
  • Nejasná neznáma. Ak si nenapíšeš, čo je x, ľahko odpovieš na inú otázku.
  • Zabudnuté jednotky. Odpoveď „8“ nestačí — sú to 8 m.

V skratke

  • Označ neznámu, vyjadri ostatné veličiny, zostav rovnicu, vyrieš ju.
  • Kvadratická rovnica má často dva korene, úloha len jedno rozumné riešenie.
  • Záporné dĺžky, počty a rýchlosti vyhoď.
  • Over výsledok dosadením do textu úlohy a odpovedz celou vetou.

Skús si sám

  1. Súčin dvoch po sebe idúcich párnych čísel je 168. Ktoré sú to čísla?
  2. Obdĺžnik má obvod 30 m a obsah 56 m². Aké má rozmery?
  3. Mnohouholník má 20 uhlopriečok. Koľko má vrcholov?
  4. Okolo záhona 6 m × 10 m vedie všade rovnako široký chodník. Záhon aj s chodníkom zaberá 140 m². Aký široký je chodník?
Riešenia:
  1. n(n + 2) = 168, n² + 2n − 168 = 0, D = 676, n = 12 (−14 nevyhovuje). Čísla 12 a 14.
  2. a + b = 15, ab = 56: x² − 15x + 56 = 0, x = 7 alebo x = 8. Rozmery 7 m a 8 m.
  3. n(n − 3) / 2 = 20, n² − 3n − 40 = 0, n = 8 (−5 nevyhovuje).
  4. (6 + 2x)(10 + 2x) = 140, 4x² + 32x − 80 = 0, x² + 8x − 20 = 0, x = 2 (−10 nevyhovuje). Chodník je široký 2 m.

Precvič si

👉 Späť: Rovnice, ktoré vedú na kvadratickú · Na začiatok: Neúplné kvadratické rovnice