Rozklad kvadratického trojčlena na koreňové činitele

Rozklad kvadratického trojčlena na koreňové činitele

Roznásob (x − 2)(x − 3): x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. A teraz opačne: trojčlen x² − 5x + 6 sa dá zapísať ako súčin (x − 2)(x − 3). Všimni si, že čísla 2 a 3 sú presne korene rovnice x² − 5x + 6 = 0.

To nie je náhoda. Ak poznáš korene, trojčlen rozložíš na súčin — a naopak, zo súčinu hneď vidíš korene.

Obsah

Pravidlo rozkladu

Ak má rovnica ax² + bx + c = 0 korene x₁ a x₂, potom

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

Výrazy (x − x₁) a (x − x₂) sa volajú koreňové činitele. Číslo a pred zátvorkami nesmieš vynechať.

Prečo to platí? Súčin a(x − x₁)(x − x₂) je nulový práve pre x = x₁ a x = x₂ a pri x² má číslo a. Trojčlen s rovnakými koreňmi a rovnakým a je ten istý trojčlen.

Riešené príklady

Riešený príklad 1

Rozlož x² + x − 12.

  1. Korene rovnice x² + x − 12 = 0: D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, teda x₁ = 3, x₂ = −4.
  2. a = 1, preto x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4).

Pozor na znamienko: koreň −4 dáva činiteľ x − (−4) = x + 4.

Skúška: (x − 3)(x + 4) = x² + 4x − 3x − 12 = x² + x − 12 ✓.

Riešený príklad 2 — číslo a pred zátvorkou

Rozlož 2x² − 2x − 12.

  1. Korene: D = 4 + 96 = 100, x = (2 ± 10) / 4, teda x₁ = 3, x₂ = −2.
  2. a = 2, preto 2x² − 2x − 12 = 2(x − 3)(x + 2).

Riešený príklad 3 — zlomkový koreň

Rozlož 3x² + 4x + 1.

  1. D = 16 − 12 = 4, x = (−4 ± 2) / 6, teda x₁ = −1/3, x₂ = −1.
  2. 3x² + 4x + 1 = 3(x + 1/3)(x + 1).
  3. Trojku „vnesieme“ do prvej zátvorky: 3(x + 1/3) = 3x + 1. Výsledok: (3x + 1)(x + 1).

Skúška: (3x + 1)(x + 1) = 3x² + 3x + x + 1 = 3x² + 4x + 1 ✓.

Riešený príklad 4 — dvojnásobný koreň

x² − 6x + 9 má jediný koreň 3 (D = 0), preto x² − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3) = (x − 3)².

Keď sa trojčlen rozložiť nedá

Ak je D < 0, rovnica nemá reálne korene a trojčlen sa na súčin lineárnych činiteľov s reálnymi číslami rozložiť nedá. Napríklad x² + x + 1 (D = 1 − 4 = −3).

Zostavenie rovnice z koreňov

Pravidlo funguje aj opačne: ak poznáš korene, rovnicu zostavíš roznásobením.

Riešený príklad 5

Zostav rovnicu s koreňmi 2 a −5 (a = 1).

(x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10, teda x² + 3x − 10 = 0.

Riešený príklad 6

Zostav rovnicu s koreňmi 1/2 a 3 a s a = 2.

2(x − 1/2)(x − 3) = (2x − 1)(x − 3) = 2x² − 6x − x + 3, teda 2x² − 7x + 3 = 0.

Riešený príklad 7 — korene s odmocninou

Zostav rovnicu s koreňmi 2 + √3 a 2 − √3 (a = 1).

(x − 2 − √3)(x − 2 + √3) = (x − 2)² − (√3)² = x² − 4x + 4 − 3, teda x² − 4x + 1 = 0.

Použili sme vzorec (A − B)(A + B) = A² − B² s A = x − 2 a B = √3.

Na čo je rozklad dobrý

  • Krátenie zlomkov. (x² − 5x + 6) / (x − 2) = (x − 2)(x − 3) / (x − 2) = x − 3 pre x ≠ 2.
  • Rýchle čítanie koreňov. Z tvaru 2(x − 3)(x + 2) = 0 hneď vidíš riešenia 3 a −2.
  • Kvadratické nerovnice. Znamienko súčinu sa určuje ľahšie ako znamienko trojčlena.

Najčastejšie chyby

  • Vynechané a. 2x² − 2x − 12 nie je (x − 3)(x + 2) — to je len x² − x − 6.
  • Znamienka. Koreň −4 dáva (x + 4), nie (x − 4).
  • Zlomok v zátvorke. 3(x + 1/3) = 3x + 1, nie 3x + 3.
  • Rozklad pri D < 0. Ak rovnica nemá reálne korene, reálny rozklad na koreňové činitele neexistuje.

V skratke

  • Ak má trojčlen korene x₁, x₂, platí ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • Korene nájdeš vzorcom (alebo uhádneš zo súčtu a súčinu).
  • Koreň −k dáva činiteľ (x + k).
  • Pri dvojnásobnom koreni je rozklad a(x − x₁)².
  • Rovnicu z koreňov zostavíš roznásobením a(x − x₁)(x − x₂).

Skús si sám

  1. Rozlož x² − 7x + 10.
  2. Rozlož x² + 2x − 15.
  3. Rozlož 2x² + 5x − 3.
  4. Zostav rovnicu s koreňmi −1 a 4 (a = 1).
  5. Zostav rovnicu s koreňmi 1 + √2 a 1 − √2 (a = 1).
Riešenia:
  1. Korene 2 a 5: (x − 2)(x − 5).
  2. Korene 3 a −5: (x − 3)(x + 5).
  3. D = 25 + 24 = 49, korene 1/2 a −3: 2(x − 1/2)(x + 3) = (2x − 1)(x + 3).
  4. (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4, rovnica x² − 3x − 4 = 0.
  5. (x − 1)² − 2 = x² − 2x − 1, rovnica x² − 2x − 1 = 0.

Precvič si

👉 Späť: Počet riešení a rovnice s parametrom · Ďalej: Vietove vzorce