Rovnice, ktoré vedú na kvadratickú rovnicu

Rovnice, ktoré vedú na kvadratickú rovnicu

Rovnica x⁴ − 5x² + 4 = 0 má štvrtú mocninu, takže kvadratická nie je. Ale pozri sa lepšie: x⁴ = (x²)². Ak si x² na chvíľu premenujeme na t, dostaneme t² − 5t + 4 = 0 — obyčajnú kvadratickú rovnicu.

Tomuto triku sa hovorí substitúcia. Spolu s rovnicami, ktoré majú neznámu v menovateli, patrí k najčastejším spôsobom, ako sa zložitejšia rovnica zmení na kvadratickú.

Obsah

Bikvadratické rovnice

Rovnica tvaru ax⁴ + bx² + c = 0 je bikvadratická. Postup:

  1. Označ t = x². Rovnica sa zmení na at² + bt + c = 0.
  2. Vyrieš ju pre t.
  3. Vráť sa k x: z každého kladného t dostaneš dve riešenia x = ±√t. Záporné t vyhoď — x² nemôže byť záporné.

Riešený príklad 1

x⁴ − 5x² + 4 = 0

  1. t = x²: t² − 5t + 4 = 0.
  2. t₁ = 1, t₂ = 4 (súčin 4, súčet 5).
  3. x² = 1 dáva x = ±1, x² = 4 dáva x = ±2.

Riešenia: x = −2, −1, 1, 2. Skúška pre x = 2: 16 − 20 + 4 = 0 ✓.

Riešený príklad 2

x⁴ − 8x² − 9 = 0

  1. t² − 8t − 9 = 0, t₁ = 9, t₂ = −1.
  2. x² = 9 dáva x = ±3.
  3. x² = −1 nemá riešenie.

Riešenia: x = −3, 3.

Riešený príklad 3

x⁴ + 7x² + 12 = 0

t² + 7t + 12 = 0 má korene t = −3 a t = −4. Obe sú záporné, preto rovnica nemá riešenie. (Vidno to aj bez počítania: x⁴ aj 7x² sú nezáporné, takže ľavá strana je aspoň 12.)

Substitúcia za celý výraz

Ak sa v rovnici opakuje celý výraz, môžeme ho nahradiť jedným písmenom.

Riešený príklad 4

(x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0

  1. t = x² − 3x: t² − 2t − 8 = 0, korene t₁ = 4, t₂ = −2.
  2. x² − 3x = 4, teda x² − 3x − 4 = 0: x = 4 alebo x = −1.
  3. x² − 3x = −2, teda x² − 3x + 2 = 0: x = 1 alebo x = 2.

Riešenia: x = −1, 1, 2, 4. Skúška pre x = 1: (1 − 3)² − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0 ✓.

Neznáma v menovateli

Ak je x v menovateli, najprv si zapíš podmienky: menovateľ nesmie byť nula. Potom celú rovnicu vynásob menovateľom (alebo súčinom menovateľov).

Riešený príklad 5

x − 12/x = 1

  1. Podmienka: x ≠ 0.
  2. Vynásob x: x² − 12 = x.
  3. Uprav: x² − x − 12 = 0, korene x = 4 a x = −3.
  4. Obe vyhovujú podmienke.

Riešenia: x₁ = −3, x₂ = 4. Skúška: 4 − 12/4 = 4 − 3 = 1 ✓, −3 − 12/(−3) = −3 + 4 = 1 ✓.

Koreň, ktorý treba vyhodiť

Násobením menovateľom môže vzniknúť koreň, ktorý pôvodnú rovnicu nespĺňa. Preto na podmienky nikdy nezabúdaj.

Riešený príklad 6

(x² − x − 6) / (x − 3) = 0

  1. Podmienka: x ≠ 3.
  2. Zlomok je nula, keď je nula čitateľ: x² − x − 6 = 0, korene x = 3 a x = −2.
  3. x = 3 podmienke nevyhovuje (menovateľ by bol nula).

Riešenie: x = −2.

Riešený príklad 7

x / (x − 2) − 6 / (x + 1) = 6 / ((x − 2)(x + 1))

  1. Podmienky: x ≠ 2, x ≠ −1.
  2. Vynásob (x − 2)(x + 1): x(x + 1) − 6(x − 2) = 6.
  3. Roznásob: x² + x − 6x + 12 = 6, teda x² − 5x + 6 = 0.
  4. Korene x = 2 a x = 3. Koreň x = 2 podmienke nevyhovuje.

Riešenie: x = 3. Skúška: 3/1 − 6/4 = 3 − 1,5 = 1,5 a 6 / (1 · 4) = 1,5 ✓.

Najčastejšie chyby

  • Zabudnuté ±. Z x² = 4 sú dve riešenia, ±2. Bikvadratická rovnica môže mať až štyri riešenia.
  • Ponechané záporné t. x² = −1 nemá riešenie v ℝ.
  • Chýbajúce podmienky. Bez nich v príklade 6 omylom ponecháš x = 3.
  • Násobenie len jednej strany. Menovateľom násob každý člen na oboch stranách.

V skratke

  • Bikvadratickú rovnicu ax⁴ + bx² + c = 0 rieš substitúciou t = x².
  • Kladné t dáva dve riešenia ±√t, záporné žiadne.
  • Opakujúci sa výraz nahraď jedným písmenom.
  • Pri neznámej v menovateli najprv napíš podmienky, potom násob menovateľmi.
  • Na konci over každý koreň v podmienkach.

Skús si sám

  1. x⁴ − 10x² + 9 = 0
  2. x⁴ − 3x² − 4 = 0
  3. x + 6/x = 5
  4. (x² − 4) / (x + 2) = 0
  5. (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0
Riešenia:
  1. t = 1 alebo t = 9: x = ±1, ±3.
  2. t = 4 alebo t = −1: x = ±2.
  3. x ≠ 0; x² − 5x + 6 = 0, x = 2 alebo x = 3.
  4. x ≠ −2; x² − 4 = 0 dáva ±2, ale −2 nevyhovuje, preto x = 2.
  5. t = x² + x: t = 2 alebo t = 6. x² + x − 2 = 0 dáva 1, −2; x² + x − 6 = 0 dáva 2, −3. Riešenia −3, −2, 1, 2.

Precvič si

👉 Späť: Vietove vzorce · Ďalej: Slovné úlohy na kvadratické rovnice