Diskriminant a vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Rovnicu x² − 9 = 0 vyriešiš odmocnením, rovnicu x² − 5x = 0 vyňatím x. Ale čo s rovnicou x² − 2x − 15 = 0? Sú v nej všetky tri členy a ani jeden trik nefunguje.

Na takúto úplnú kvadratickú rovnicu existuje vzorec, ktorý funguje vždy. Ukážeme si ho krok za krokom.

Diskriminant

Rovnicu najprv uprav na tvar ax² + bx + c = 0 a vypíš koeficienty aj so znamienkami. Pre x² − 2x − 15 = 0 je a = 1, b = −2, c = −15.

Potom vypočítaj diskriminant:

D = b^{2} - 4 a c

Pre našu rovnicu: D = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64.

Slovo diskriminant znamená „rozlišovač“ — podľa neho rozlíšime, koľko riešení rovnica má.

Vzorec pre korene

Ak D nie je záporný, korene vypočítaš vzorcom

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Znak ± znamená, že počítaš dvakrát: raz s plusom (x₁), raz s mínusom (x₂).

Pre x² − 2x − 15 = 0: √D = √64 = 8, preto

x₁ = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5,
x₂ = (2 − 8) / 2 = −6 / 2 = −3.

Skúška: 5² − 2 · 5 − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓.

Tri možnosti podľa diskriminantu

Diskriminant	Počet riešení	Prečo
D > 0	dve rôzne riešenia	√D je kladné číslo, + a − dajú dve rôzne hodnoty
D = 0	jedno (dvojnásobné) riešenie	√0 = 0, obe hodnoty splynú: x = −b / 2a
D < 0	žiadne reálne riešenie	odmocnina zo záporného čísla v ℝ neexistuje

Na obrázku sú grafy troch funkcií y = x² − 2x + c. Korene rovnice sú miesta, kde graf pretína os x. Oranžová parabola ju pretína dvakrát, čierna sa jej len dotkne a prerušovaná ju nepretne vôbec.

Tri paraboly: oranžová pretína os x v bodoch −1 a 3, plná čierna sa dotýka osi x v bode 1, prerušovaná leží celá nad osou x

Riešené príklady

Riešený príklad 1 — zlomkové korene

2x² − x − 3 = 0

a = 2, b = −1, c = −3.
D = (−1)² − 4 · 2 · (−3) = 1 + 24 = 25, √D = 5.
x₁ = (1 + 5) / 4 = 6/4 = 3/2, x₂ = (1 − 5) / 4 = −4/4 = −1.

Skúška pre x = −1: 2 · 1 + 1 − 3 = 0 ✓.

Riešený príklad 2 — jeden koreň

x² − 6x + 9 = 0

D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
x = 6 / 2 = 3.

Ľavá strana je vlastne (x − 3)², preto je jediným riešením x = 3.

Riešený príklad 3 — bez riešenia

x² + 2x + 5 = 0

D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
D < 0, rovnica nemá riešenie v ℝ.

💡 Ak je a záporné, napríklad −x² + 4x − 3 = 0, celú rovnicu najprv vynásob číslom −1: x² − 4x + 3 = 0. Riešenia sa nezmenia (x = 1 a x = 3) a počíta sa ľahšie.

Korene s odmocninou

Ak D nie je druhou mocninou celého čísla, odmocnina „nevyjde“. Korene potom zapíšeme s odmocninou a odmocninu čiastočne odmocníme: z čísla pod odmocninou vyberieme najväčšiu druhú mocninu.

Riešený príklad 4

x² − 4x + 1 = 0

D = (−4)² − 4 · 1 · 1 = 16 − 4 = 12.
√12 = √(4 · 3) = 2√3.
x = (4 ± 2√3) / 2.
Vydeľ dvomi oba členy čitateľa: x = 2 ± √3.

Korene sú x₁ = 2 + √3, x₂ = 2 − √3 (približne 3,73 a 0,27).

Riešený príklad 5

x² + 2x − 7 = 0

D = 2² − 4 · 1 · (−7) = 4 + 28 = 32.
√32 = √(16 · 2) = 4√2.
x = (−2 ± 4√2) / 2 = −1 ± 2√2.

Najčastejšie chyby

Znamienko pri −b. Ak b = −2, tak −b = 2. Do vzorca dosádzaš opačné číslo, než je b.
Druhá mocnina záporného b. (−6)² = 36, nie −36. Záporné b vždy daj do zátvorky.
Delenie len časti čitateľa. (4 ± 2√3) / 2 je 2 ± √3, nie 2 ± 2√3 ani 4 ± √3.
Zabudnuté čiastočné odmocnenie. Výsledok (4 ± √12) / 2 nie je dokončený — √12 = 2√3, preto x = 2 ± √3.
Rovnica nie je v tvare = 0. Pri x² = 2x + 15 najprv presuň všetko doľava: x² − 2x − 15 = 0.

V skratke

Uprav rovnicu na tvar ax² + bx + c = 0 a vypíš a, b, c so znamienkami.
Diskriminant: D = b² − 4ac.
D > 0: dve riešenia, D = 0: jedno, D < 0: žiadne.
Korene: x = (−b ± √D) / 2a.
Odmocninu čiastočne odmocni a zlomok skráť.

Skús si sám

x² + x − 12 = 0
3x² − 5x − 2 = 0
x² − 10x + 25 = 0
x² − 2x − 2 = 0
2x² + 3x + 4 = 0

Riešenia:

D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, teda x = 3 alebo x = −4.
D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) / 6, teda x = 2 alebo x = −1/3.
D = 100 − 100 = 0, x = 10 / 2 = 5.
D = 4 + 8 = 12, x = (2 ± 2√3) / 2 = 1 ± √3.
D = 9 − 32 = −23 < 0, rovnica nemá riešenie.

Precvič si

👉 Späť: Neúplné kvadratické rovnice · Ďalej: Počet riešení a rovnice s parametrom